Zwei Verteilungen gleich genau dann wenn Dichten gleich ?

06.05.2013, 10:36

mathemag1er

Zwei Verteilungen gleich genau dann wenn Dichten gleich ?

Hallo Leute, habe eine Frage.

Und zwar betrachte ich (multivariate) Verteilungen $\begin{eqnarray*} P' \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} P'' \end{eqnarray*}$ , welche jeweils Dichten $\begin{eqnarray*} p' \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} p'' \end{eqnarray*}$ haben.

Stimmt die Aussage, dass die beiden Verteilungen gleich sind, d.h. $\begin{eqnarray*} P' = P'' \end{eqnarray*}$ genau dann wenn $\begin{eqnarray*} p' = p'' \end{eqnarray*}$ (fast überall) ist?

Danke!

Wie würde man es beweisen? Also eine Richtung ist ja trivial, aber die andere? Ich würde eine Gegenannahme machen. Seien $\begin{eqnarray*} p' \ne p'' \end{eqnarray*}$ fast überall, d.h. es existiert eine Menge $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ mit positiven Maß, wo $\begin{eqnarray*} p' \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} p'' \end{eqnarray*}$ nicht übereinstimmen. Aber das alleine reicht ja noch nicht um zu sagen, dass die Integrale

$\begin{eqnarray*} P'(A) = \int_{A} p' \, d\mu \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} P''(A) = \int_{A} p'' \, d\mu \end{eqnarray*}$

verschieden sind unglücklich

Zweiten Beitrag hier reinkopiert und gelöscht. Steffen

Kann man so argumentieren?

Betrachte

$\begin{eqnarray*} A* := \{ x \in A | p'(x) > p''(x) \} \end{eqnarray*}$

bzw.

$\begin{eqnarray*} A** := \{x \in A | p'(x) < p''(x) \}. \end{eqnarray*}$

Mindestens eins von beiden hat positives Maß.

Dann gilt (falls A* positives Maß hat)

$\begin{eqnarray*} P'(A*) - P''(A*) = \int_{A} p' - p'' \, d\mu > 0 \end{eqnarray*}$

oder (falls A** positives Maß hat)
$\begin{eqnarray*} P'(A**) - P''(A**) < 0. \end{eqnarray*}$

Stimmt das?

Weiterhin habe ich den Zusammenhang " Zwei Verteilungen gleich genau dann wenn Dichten gleich" bisher noch nie gefunden. Ist das so trivial? oder benutzt man das nie?

06.05.2013, 16:38

HAL 9000

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Im Prinzip richtig, es fehlt nach meinem Geschmack noch der eher technische Zwischenschritt:

Sei o.B.d.A: $\begin{eqnarray*} \mu(A^*)>0 \end{eqnarray*}$ , dann definieren wir noch

$\begin{eqnarray*} A_n := \left\{ x\in A \bigm| p'(x) \geq p''(x)+\frac{1}{n} \right\} \end{eqnarray*}$

Damit ist

$\begin{eqnarray*} P'(A_n)-P''(A_n) = \int\limits_{A_n} (p'(x)-p''(x)) ~ \dd\mu(x) \geq \frac{1}{n}\mu(A_n) \end{eqnarray*}$

Die Annahme $\begin{eqnarray*} P'(A_n) = P''(A_n) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ führt zu $\begin{eqnarray*} \mu(A_n)=0 \end{eqnarray*}$ und somit $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} \mu(A_n) = 0 \end{eqnarray*}$ , was im Widerspruch zu $\begin{eqnarray*} \mu(A^*) = \mu\left( \lim_{n\to\infty} A_n \right)>0 \end{eqnarray*}$ steht (Stetigkeit des Maßes $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ ).

Zitat:

Original von mathemag1er
Ich würde eine Gegenannahme machen. Seien $\begin{eqnarray*} p' \ne p'' \end{eqnarray*}$ fast überall

Hier hast du dich verbal vertan, allerdings ohne darauf später aufzubauen, weshalb es auch keine Auswirkungen hat:

Das Gegenteil von " $\begin{eqnarray*} p'=p'' \end{eqnarray*}$ fast überall" ist sicher nicht " $\begin{eqnarray*} p' \ne p'' \end{eqnarray*}$ fast überall".

Zitat:

Original von mathemag1er
Weiterhin habe ich den Zusammenhang " Zwei Verteilungen gleich genau dann wenn Dichten gleich" bisher noch nie gefunden. Ist das so trivial? oder benutzt man das nie?

M.E. ist das Bestandteil bzw. einfache Folgerung des Satzes von Radon-Nikodym.

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