Riemannsche Metrik (im Sinne Riemannscher Mannigfaltigkeit)

06.05.2013, 12:15	Jayronic	Auf diesen Beitrag antworten »
Riemannsche Metrik (im Sinne Riemannscher Mannigfaltigkeit) Meine Frage: ´Gegeben folgende Definition des Tangentialraums und einer Riemannschen Metrik (vgl. Wikipedia): Sei $\begin{eqnarray} M^m \end{eqnarray}$ eine (zusammenhängende) differenzierbare Mannigfaltigkeit. Der Tangentialraum $\begin{eqnarray} T_pM \end{eqnarray}$ sei für $\begin{eqnarray} p\in M \end{eqnarray}$ der Raum der Deriviaionen von Funktionskeimen bei $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ , also der von $\begin{eqnarray} (\frac{\partial}{\partial x_1},\hdots, \frac{\partial}{\partial x_m}) \end{eqnarray}$ aufgespannte Vektorraum, wobei $\begin{eqnarray} x_1,\hdots,x_m \end{eqnarray}$ lokale Koordinaten bei $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ sind. Eine Riemannsche Metrik auf $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ ist eine (glatte) Abbildung $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ , welche jedem Punkt $\begin{eqnarray} p\in M \end{eqnarray}$ ein Skalarprodukt auf $\begin{eqnarray} T_pM \end{eqnarray}$ zuordnet, das heißt für jedes $\begin{eqnarray} p\in M \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} g_p : T_pM \times T_pM \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray}$ eine symmetrische, positiv definite Bilinearform und $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ hängt differenzierbar von $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ ab. Jetzt meine Frage dazu: Bekanntlich ist $\begin{eqnarray} T_pM \cong \mathbb R^m \end{eqnarray}$ isomorph (via der Abbildung, die jeder Derivation seine Koeffizienten zuordnet). Was hindert mich jetzt daran, auf einer beliebigen Mannigfaltigkeit einfach $\begin{eqnarray} g_p \end{eqnarray}$ als das Standardskalarprodukt auf dem $\begin{eqnarray} \mathbb R^m \end{eqnarray}$ zu setzen? Meine Ideen: Meine Vermutung ist, dass obwohl die Abbildung $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ dann ja konstant wäre (jedem $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ wird das gleiche Sk.Prd. zugewiesen), trotzdem etwas mit der Differenzierbarkeit schief geht... Was ich mir schlecht vorstellen kann, da die Kartenwechsel Diffeomorphismen sind... Daher frage ich hier ^^: Was geht schief, wenn ich $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ wie oben beschrieben konstant wähle? LG PS: Wenn diese Frage geklärt ist, habe ich noch einen anderen Ansatz eine Riemannsche Metrik zu konstruieren (auf Flächen), den ich hier gerne diskutieren würde.
06.05.2013, 20:39	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Riemannsche Metrik (im Sinne Riemannscher Mannigfaltigkeit) Die Darstellung der Tangentialvektoren bzw. die Identifizierung mit $\begin{eqnarray} \mathbb R^m \end{eqnarray}$ hängt von der verwendeten Karte ab, d.h. deine Metrik wäre gar nicht wohldefiniert.

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