c in der oberen Halbebene

06.05.2013, 13:09

Sway

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c in der oberen Halbebene

Gegeben ist eine einfach geschlossene, nach Bogenlänge parametrisierte Kurve c(s) = (x(s), y(s)): [0,L] -> R^2 mit

c(0) = c(L) = (0,0) und c'(0) = c'(L) = (1,0) und Krümmung >=0

Ich will zeigen, dass c in der oberen Halbebene liegt, also dass y(s) in s = 0 sein globales Minimun annimmt.

Ich habe leider keine Ahnung wie ich anfangen soll...

c ist einfach geschlossen, dh. injektiv, die Ableitung ist ja gegeben...was ist da zu zeigen?

Bitte, bitte Hilfe!

06.05.2013, 20:47

Che Netzer

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RE: c in der oberen Halbebene
Betrachte den Tangentialvektor als Kurve auf dem Einheitskreis.
Was kannst du darüber aussagen, in welche Richtung er sich bewegt?

07.05.2013, 12:47

Sway

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RE: c in der oberen Halbebene
Hm, also c'(0) = (1,0), also würde ich sagen, er bewegt sich in x-Richtung?

07.05.2013, 14:08

Che Netzer

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RE: c in der oberen Halbebene
Er bewegt sich auf dem Einheitskreis...
Mit $\begin{eqnarray*} T(0)=(1,0) \end{eqnarray*}$ .
In welche Richtung (mit dem/gegen den Uhrzeigersinn) bewegt er sich dann? Kann er die Richtung ändern? Kann er stehenbleiben?

07.05.2013, 21:27

Sway

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RE: c in der oberen Halbebene
Bin mir nicht sicher, ob ich das richtig interpretiere, da mir das so nicht bekannt ist...

Gegen den Uhrzeigersinn, weil der Winkel positiv sein wird oder?

Aber Richtung ändern oder stehenbleiben, da bin ich überfragt..wie erkenne ich das?

07.05.2013, 21:31

Che Netzer

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RE: c in der oberen Halbebene
Ja, gegen den Uhrzeigersinn.
In diese Richtung zeigt der Normalenvektor (anschaulich gesprochen). Und wieso bewegt sich der Tangentialvektor dann auch in diese Richtung?
Kannst du dann auch etwas über die Möglichkeit des Stehenbleibens sagen? (wobei das nur zum Verständnis gedacht ist)

Übrigens: Wenn du dich näher mit der Kurve des Tangentialvektors beschäftigen möchtest, schlag das Wort Tantrix nach.

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07.05.2013, 21:46

Sway

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In dieselbe Richtung? Stehen die beiden nicht senkrecht aufeinander?

Hm, Stehenbleiben eher nicht, da Anfangs- und Endpunkt gleich sind..kommt der Gedanke hin?

Meinst du mit Tantrix das Spiel?

07.05.2013, 21:50

Che Netzer

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Zitat:

Original von Sway
In dieselbe Richtung? Stehen die beiden nicht senkrecht aufeinander?

Worauf bezieht sich das? verwirrt

verwirrt

Zitat:

Hm, Stehenbleiben eher nicht, da Anfangs- und Endpunkt gleich sind..kommt der Gedanke hin?

Nein.

Zitat:

Meinst du mit Tantrix das Spiel?

Nein, das Kurzwort für tangent indicatrix.

Jedenfalls sollte $\begin{eqnarray*} T'=\kappa N \end{eqnarray*}$ klar sein.
Und $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ zeigt "gegen den Uhrzeigersinn".
Woher weißt du dann, dass $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ sich nicht in die entgegengesetzte Richtung bewegt?

07.05.2013, 22:07

Sway

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Tangentialvektor und Normale stehen senkrecht zueinander oder? Wie kann sich dann der Tangentialvektor in Richtung der Normalen bewegen, das meinte ich..

Wie kann ich dann etwas über das Stehenbleiben aussagen?

T' steht für c'' oder? Und k ist die Krümmung, ja ist klar! Aber T und T' stehen doch auch senkrecht aufeinander oder? Da kann ich trotzdem auf die Richtung schließen?

07.05.2013, 22:11

Che Netzer

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Die Gleichung $\begin{eqnarray*} T'=\kappa N \end{eqnarray*}$ sagt aus, dass die Bewegung von $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ die Richtung $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ hat – mit dem Vorfaktor $\begin{eqnarray*} \kappa \end{eqnarray*}$ .
Mal dir das mal für $\begin{eqnarray*} t=0 \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} T=(1,0) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} N=(0,1) \end{eqnarray*}$ auf.
Zeichne diese beiden Vektoren ein und bestimme, in welche Richtung sich $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ bewegt, wenn dessen Ableitung $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ wäre (d.h. wir nehmen kurzzeitig $\begin{eqnarray*} \kappa=1 \end{eqnarray*}$ an).

07.05.2013, 22:29

Sway

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Oh, ich glaube es hängt von der Krümmung ab, das ist mein Denkfehler...

Ist die Krümmung > 0, dann stehen c' und c'' senkrecht zueinander und n geht in die selbe Richtung wie c'', in die Richtung in die sich die Kurve "krümmt".

Das vorhin beschriebene, bezieht sich auf eine negative Krümmung! Sorry..

Nur, wo führt mich das hin?

07.05.2013, 22:32

Che Netzer

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Der Gedanke ist richtig.
Bei positiver Krümmung bewegt sich der Tangentialvektor gegen den Uhrzeigersinn entlang des Einheitskreises, bei verschwindender Krümmung bleibt er stehen, bei negativer bewegt er sich im Uhrzeigersinn.

Bei uns kann er sich also nicht rückwärts bewegen.

Wenn $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ nun also irgendwann in der unteren Halbebene ist, dann aber wieder nach oben gelangt, muss der Tangentialvektor irgendwo in der unteren Halbene $\begin{eqnarray*} (1,0) \end{eqnarray*}$ gewesen sein. (am "tiefsten" Punkt)
Kommst du damit weiter?

07.05.2013, 22:43

Sway

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Aber das ist nicht die untere Halbebene oder? Das heißt er bleibt in der oberen Halbebene..

07.05.2013, 22:43

Che Netzer

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Was ist nicht die untere Halbebene?

07.05.2013, 22:50

Sway

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Naja, zu zeigen war ja, dass c in der oberen Halbebene liegt... oder steh ich jetzt auf der Leitung?

07.05.2013, 22:51

Che Netzer

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Ja, deshalb nehmen wir an, dass $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ einen Punkt in der unteren Halbebene besitzt und wollen das zu einem Widerspruch führen.

07.05.2013, 23:02

Sway

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Zitat:

Original von Che Netzer
Wenn $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ nun also irgendwann in der unteren Halbebene ist, dann aber wieder nach oben gelangt, muss der Tangentialvektor irgendwo in der unteren Halbene $\begin{eqnarray*} (1,0) \end{eqnarray*}$ gewesen sein. (am "tiefsten" Punkt)

Das ist mir nicht klar!

Wieso ist (1,0) in der unteren Halbebene?

07.05.2013, 23:04

Che Netzer

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Stell dir das mal bildlich vor:
Wenn die Kurve in die untere Halbebene abtaucht und dann aber wieder zum Nullpunkt gelangt, muss es irgendwo in der unteren Halbebene einen Punkt geben, an dem sie eine waagerechte Tangente hat – den Tangentialvektor $\begin{eqnarray*} (1,0) \end{eqnarray*}$ .

Aber $\begin{eqnarray*} (1,0) \end{eqnarray*}$ ist nicht in der unteren Halbebene, sondern der Tangentialvektor der Kurve an einem Punkt in der unteren Halbebene.

07.05.2013, 23:17

Sway

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Zitat:

Original von Che Netzer
Stell dir das mal bildlich vor:
Wenn die Kurve in die untere Halbebene abtaucht und dann aber wieder zum Nullpunkt gelangt, muss es irgendwo in der unteren Halbebene einen Punkt geben, an dem sie eine waagerechte Tangente hat – den Tangentialvektor $\begin{eqnarray*} (1,0) \end{eqnarray*}$ .

Und dieser liegt nicht in der unteren Halbebene und somit muss c immer in der oberen Halbebene liegen!?

07.05.2013, 23:21

Che Netzer

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Nein. Wenn der Tangentialvektor $\begin{eqnarray*} (1,0) \end{eqnarray*}$ wird, muss er dabei bleiben, denn er kann ja nicht "rückwärts" laufen. Und weil die Kurve einfach und geschlossen ist, kann er nicht noch eine Drehung machen.

D.h. es gibt einen Punkt in der unteren Halbebene, an dem die Kurve den Tangentialvektor $\begin{eqnarray*} (1,0) \end{eqnarray*}$ hat und dieser sich nicht mehr ändert. Kann die Kurve dann noch den Nullpunkt erreichen?

07.05.2013, 23:24

Sway

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Nein!?

07.05.2013, 23:25

Che Netzer

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Genau, denn dann wäre $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ von diesem Punkt an eine waagerechte Gerade Freude

Freude

07.05.2013, 23:33

Sway

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Hm, also mal zusammenfassen:

Es ist eine Annahme oder?

Also ich nehme an, dass es einen Punkt in der unteren Halbebene gibt, an dem die Kurve den geg. Tangentialvektor hat und da dieser sich nicht ändern kann und somit den Nullpunkt nicht erreichen kann, folgt dass c in der oberen Halbebene liegt..

Wieso wäre das eine Gerade? Könnte ich nicht das gleiche auch für die obere Halbebene annehmen?

07.05.2013, 23:37

Che Netzer

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Zitat:

Original von Sway
Also ich nehme an, dass es einen Punkt in der unteren Halbebene gibt, an dem die Kurve den geg. Tangentialvektor hat und da dieser sich nicht ändern kann und somit den Nullpunkt nicht erreichen kann, folgt dass c in der oberen Halbebene liegt..

Fast. Wir nehmen aber nur an, dass es irgendeinen Punkt in der unteren Halbebene gibt; daraus folgt dann schon, dass es in dieser Halbebene einen Punkt gibt, an dem der Tangentialvektor gerade $\begin{eqnarray*} (1,0) \end{eqnarray*}$ ist.

Zitat:

Wieso wäre das eine Gerade?

Ab diesem gewissen Punkt ist der Tangentialvektor konstant. Und Kurven mit konstantem Tangentialvektor sind Geraden.

Zitat:

Könnte ich nicht das gleiche auch für die obere Halbebene annehmen?

In der oberen Halbebene muss es aber keinen Punkt mit dem Tangentialvektor $\begin{eqnarray*} (1,0) \end{eqnarray*}$ geben.

07.05.2013, 23:43

Sway

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Und damit muss er in der oberen Halbebene liegen..

07.05.2013, 23:44

Che Netzer

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Ja, weil die Annahme, es gäbe einen Punkt in der unteren Halbebene zu einem Widerspruch geführt hat.

07.05.2013, 23:46

Sway

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Ich muss mir das nochmal ordentlich verbildlichen, aber ich glaube ich verstehe was du meinst!

Tausend Dank für deine Hilfe!!!

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