Teilmengen des Metrischen Raumes abgeschlossen oder offen?

06.05.2013, 14:30	Ludholm	Auf diesen Beitrag antworten »
Teilmengen des Metrischen Raumes abgeschlossen oder offen? Meine Frage: Untersuchen Sie jeweils, ob die folgenden Teilmengen des metrischen Raumes (R^2, $\begin{eqnarray} d_{\infty } \end{eqnarray}$ ) offen bzw. abgeschlossen sind: $\begin{eqnarray} <br /> A= \left\{ (t,\frac{1}{t}) : \frac{1}{4} < t < 4 \right\} <br /> <br /> B= U_{1} (0) \diagdown \left\{ (0,t) : -1 \leq t \leq 0\right\} <br /> \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Ich habe schon die Abgeschlossenheit etc. über die $\begin{eqnarray} \epsilon \end{eqnarray}$ -Umgebungen definiert und bestimmt. Ich weiß allerdings nicht, wie man das auf ein konkretes Beispiel anwendet und bitte hier um eine kleine Hilfe.
06.05.2013, 19:42	Ludholm	Auf diesen Beitrag antworten »
Gar nichts?
06.05.2013, 19:48	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Teilmengen des Metrischen Raumes abgeschlossen oder offen? Kennst du auch die Charakterisierung von Offenheit und Abgeschlossenheit durch Folgen? Ansonsten mal dir die Mengen mal auf, vielleicht hast du dann schon eine Vermutung, welche der Mengen offen und/oder abgeschlossen sein könnte.
06.05.2013, 20:24	Ludholm	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Teilmengen des Metrischen Raumes abgeschlossen oder offen? Die Definition über Folgen kenne ich leider nicht und sie wurde auch bis jetzt in der VL nicht behandelt, deshalb denke ich, dass eher ein anderer Lösungsweg gefragt ist. Ich habe versucht die Mengen aufzuzeichnen aber ich weiß nicht genau wie ich aus dem Bild auf Abgeschlossenheit und/oder Offenheit schließen soll!
06.05.2013, 20:26	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Teilmengen des Metrischen Raumes abgeschlossen oder offen? Naja, dann nimm dir mal einen Punkt aus $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ und versuche, eine offene Kugel um diesen Punkt zu legen, die in $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ enthalten ist.
06.05.2013, 20:38	Ludholm	Auf diesen Beitrag antworten »
So wie du es formulierst sollte das wahrscheinlich nicht möglich sein, ich sehe aber keinen Grund warum nicht! Ich glaube ich habe hier wirklich ein Verständnisproblem oder stehe extrem auf dem Schlauch!
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06.05.2013, 20:40	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann nenn mir doch mal einen Punkt aus $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ und eine entsprechende offene Kugel, die in $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ enthalten ist. Hier hilft das Bild auch zum Verständnis.
06.05.2013, 20:49	Ludholm	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, dass kann ich nicht (also es gibt keine Möglichkeit), es gibt in anscheinend in allen Umgebungen Punkte die nicht mehr in der Menge enthalten sind! Das würde bedeuten, dass die Menge abgeschlossen ist. Aber wie begründe ich das Formal, ein Bild ist ja kein Beweis.
06.05.2013, 21:45	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Das bedeutet erst einmal nur, dass $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ nicht offen ist. Und um das formal zu beweisen: Nimm dir ein $\begin{eqnarray} (t_0,\tfrac1{t_0})\in A \end{eqnarray}$ . Gib zu gegebenem $\begin{eqnarray} \varepsilon>0 \end{eqnarray}$ ein $\begin{eqnarray} (x,y)\in\mathbb R^2\setminus A \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \lVert(x,y)-(t_0,\tfrac1{t_0})\rVert<\varepsilon \end{eqnarray}$ an.

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