Topologie, System abgeschlossener Mengen

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Samsoooon Auf diesen Beitrag antworten »
Topologie, System abgeschlossener Mengen
Hallo :-)
bin neu hier und habe direkt ein paar Fragen, bzw Aufgaben, die ich einfach nicht hinbekomme...

zum einen diese hier:
Sei (X; T) ein topologischer Raum und Y c X eine beliebige Teilmenge. Zeigen Sie: die abgeschlossene Hülle ist abgeschlossen. (?!)

und diese hier:
Sei (X; T) ein topologischer Raum. Wir betrachten das System der abgeschlossenen
Mengen, A := {X \ U : U element T}.
Zeigen Sie die Axiome des topologischen Raums für A.

Kann mir jemand weiterhelfen? :-)

mit freundlichen Grüßen
Samsoooon
bördiii Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Samsoon smile

Die Lösung der ersten Aufgabe steht in Analysis 2 von Otto Forster auf Seite 12 und 13 Augenzwinkern Die andere Aufgabe kann ich leider selbst nicht..

Liebe Grüße Bördi
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Topologie, System abgeschlossener Mengen
Zitat:
Original von Samsoooon
Sei (X; T) ein topologischer Raum und Y c X eine beliebige Teilmenge. Zeigen Sie: die abgeschlossene Hülle ist abgeschlossen. (?!)

Wie habt ihr denn die abgeschlossene Hülle definiert?
Als den Schnitt aller abgeschlossenen Mengen, die enthalten? Als Vereinigung mit dem Rand?

Zitat:
Zeigen Sie die Axiome des topologischen Raums für A.

Die der Definition über abgeschlossene Mengen?
Bzw. welche habt ihr euch denn aufgeschrieben?
Samsoooon Auf diesen Beitrag antworten »

Wir haben das wie folgt definiert (siehe Anhang)
und diese 3 Dinge soll man beweisen zu der oben genannten Menge :-)
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Und ihr habt analoge Definitionen für das System der offenen Mengen gegeben?
Samsoooon Auf diesen Beitrag antworten »

Jap, das haben wir, aber ich verstehe nicht, wie man das jetzt beweisen kann, da ja U element der Topologie ist und somit die leere Menge enthält aber die ja nach der Definition nicht in A enthalten ist, wegen X\U. Oder kann man das so leicht nicht über die leere Menge sagen?!

Über einen Ansatz oder sogar Weg wäre ich sehr erfreut :-D
 
 
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Deinen ersten Kettensatz solltest du mal etwas sinnvoller gestalten, der ist unverständlich.
Ist dein Problem, dass du nicht zeigen kannst, dass die leere Menge abgeschlossen ist?
Samsoooon Auf diesen Beitrag antworten »

Mein Satz war eh Unsinn.
Ich verstehe allgemein nicht, wie ich das beweisen kann/soll!
Samsoooon Auf diesen Beitrag antworten »

Da ich es nicht editieren kann, die Frage im neuen Post (Entschuldigung dafür schonmal vorweg)

Kannst du mir die Lösung verraten? Ich beiße mir die Zähne aus!
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Hier werden keine Lösungen verraten.

Aber ich kann dir mal sagen, was du zeigen sollst:
- Die leere Menge und sind Komplemente offener Mengen,
- Beliebige Schnitte von Komplementen offener Mengen sind wieder ein Komplement einer offenen Menge,
- Endliche Vereinigungen von Komplementen offener Mengen sind wieder ein Komplement einer offenen Menge.

Du darfst benutzen:
- Die leere Menge und sind offene Mengen,
- Beliebige Vereinigungen offener Mengen sind offene Mengen,
- Endliche Schnitte offener Mengen sind offene Mengen.
Samsoooon Auf diesen Beitrag antworten »

X \ Y = {t | (t e X) ^ ¬(t e Y)}
das habe ich dann ja quasi gegeben oder?
...
das Komplement von {} ist ja quasi die gesamte Menge und {} ist eine offene und abgeschlossene Menge.
das Komplement von X ist ja analog dazu die leere Menge.
...
Ouh man, ich zerbreche mir den Kopf und es klappt nicht!
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Samsoooon
X \ Y = {t | (t ∈ X) ∧ ¬(t ∈ Y)}

verwirrt

Was wolltest du denn mit dem Rest aussagen?
Samsoooon Auf diesen Beitrag antworten »

dass ich ein Element t in der X Menge habe, dass ebenfalls in U ist, aber nicht in A.
war Quatsch wie ich das geschrieben habe.
und X und {} sind doch offen oder nicht?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Samsoooon
und X und {} sind doch offen oder nicht?

Ja. Und deren Komplemente sind nach Definition abgeschlossen. Welche Mengen gehören damit also bereits zu ?
Samsoooon Auf diesen Beitrag antworten »

{} (das Komplement von X) und X (das Komplement von {}) ?!
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Ja. Damit ist der erste Punkt abgearbeitet.
Zwei fehlen noch. Benutze dazu die de Morganschen Regeln.
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