Reelle Cauchyfolgen multiplikation

06.05.2013, 16:59

Konstanz

Reelle Cauchyfolgen multiplikation

Meine Frage:
Hi
ich habe eine Frage bezüglich einer Aufgabe zu den Cauchyfolgen.
In der Aufgabe ist gefragt ob die Multiplikation zweier reller CF wieder eine CF ist aber man darf nicht verwenden das R vollständig ist.

Meine Ideen:
Ich weis ja, dass $\begin{eqnarray*} |a_n - a_m| < \epsilon \end{eqnarray*}$ und auch das $\begin{eqnarray*} |b_n-b_m| <\epsilon \end{eqnarray*}$
mein ansatz war das ich mir das Epsilon als $\begin{eqnarray*} \frac{\epsilon}{2|a_n|} bzw \frac{\epsilon}{2|b_n|} \end{eqnarray*}$ für das $\begin{eqnarray*} |a_n -a_m| \leq \frac{\epsilon}{2|b_n|} \end{eqnarray*}$ und das $\begin{eqnarray*} |b_n-b_m| \leq \frac{\epsilon}{2|a_n|} \end{eqnarray*}$ wähle und somit dann rauskriege also als gleichung
$\begin{eqnarray*} |a_n*b_n- a_m*b_m| = |a_n(b_n-b_m) + (a_n-a_m)b_m|\leq |a_n||b_n - b_m|+|a_n-a_m||b_m|<|a_n| \frac{\epsilon}{2|a_n|}+\frac{\epsilon}{2|b_n|}|b_n|<\epsilon \end{eqnarray*}$
Meine Frage ist ob ich das darf das Epsilon so wählen wie ich es gemacht habe?

06.05.2013, 17:12

weisbrot

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RE: Reelle Cauchyfolgen multiplikation
ja, du nimmst anschaulich das epsilon aus der cauchyfolgeneigenschaft von a_n bzw b_n als epsilon/2|a_n| bzw. epsilon/2|b_n|, wobei das epsilon darin das beliebige aus der zu zeigenden cauchyfolgeneigenschaft des produktes ist. entsprechend kannst du dir jetzt mal überlegen, was dein n_0 hier dann sein muss!
lg

06.05.2013, 17:23

Konstanz

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RE: Reelle Cauchyfolgen multiplikation
Danke für die schnelle Antwort:-)

06.05.2013, 17:29

weisbrot

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RE: Reelle Cauchyfolgen multiplikation
warte mal, ich hab mich grad selbst etwas verwirrt. epsilon darf natürlich nicht von n abhängen - das geht so einfach also nicht. ich glaube man macht das stattdessen einfach unter benutzung, dass cauchyfolgen beschränkt sind.
lg

06.05.2013, 17:31

Konstanz

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RE: Reelle Cauchyfolgen multiplikation
aber das darf ich ja nicht annehmen das sie beschränkt sind denn nicht jede CF ist beschränkt außer ich weis das der Raum Vollständig ist und genau das darf ich ja nicht annehmen.

06.05.2013, 17:42

Guppi12

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Eigentlich braucht man die Vollständigkeit von IR nicht für den Beweis, dass Cauchyfolgen beschränkt sind.

Auch Cauchyfolgen in IQ sind zum Beispiel beschränkt und das lässt sich auch ohne Rückgriff auf IQ enthalten in IR zeigen.

Willst du den Beweis sonst nochmal versuchen? (Also den, dass Cauchyfolgen beschränkt sind).
Wenn du dabei dann keine Vollständigkeit benutzt kann dir keiner was ankreiden.

06.05.2013, 17:47

Konstanz

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hmm ich verstehe einfach nicht ganz
das heist dass jede CF beschränkt ist oder was ??

06.05.2013, 17:58

Guppi12

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Ich weiß gerade nicht, ob das für allgemeine metrische Räume gilt, aber die Vollständigkeit von IR braucht man, wie ich bereits sagte nicht. Was man braucht, ist eine bestimmte Eigenschaft des Betrags, nämlich:

$\begin{eqnarray*} |x-y| < \epsilon \Leftrightarrow x-\epsilon < y < x+\epsilon \end{eqnarray*}$

Edit: Hab nochmal überlegt, ich bin mir nun recht sicher, dass die Aussage nicht für allgemeine metrische Räume gilt, aber in IR mit der Standardmetrik eben schon auch ohne Vollständigkeit.

06.05.2013, 18:07

Konstanz

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Zitat:

Original von Guppi12
Ich weiß gerade nicht, ob das für allgemeine metrische Räume gilt, aber die Vollständigkeit von IR braucht man, wie ich bereits sagte nicht. Was man braucht, ist eine bestimmte Eigenschaft des Betrags, nämlich:

$\begin{eqnarray*} |x-y| < \epsilon \Leftrightarrow x-\epsilon < y < x+\epsilon \end{eqnarray*}$

Ist dann auch $\begin{eqnarray*} |x-y| < \epsilon \Leftrightarrow -y-\epsilon < x < -y+\epsilon \end{eqnarray*}$

06.05.2013, 18:12

Guppi12

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Nein, aber

$\begin{eqnarray*} |x-y| < \epsilon \Leftrightarrow y-\epsilon < x < y+\epsilon \end{eqnarray*}$

gilt natürlich auch

06.05.2013, 19:26

Konstanz

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das problem ist aber auch das wir metriken noch nicht hatten
also ich kann mir auch nicht wirklich jetzt vorstellen was ich machen soll oder wie mir das helfen soll, diese Betragsauflösung ich versuche die ganze zeit rum aber irgendwie komme ich nie zum ergebnis
ist wenigstens der Anfang meiner Gleichung richtig also alles bis auf die Wahl des Epsilons und

06.05.2013, 21:30

Guppi12

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Das mit den Metriken brauchst du garnicht beachten, ich habe das nur erwähnt, weil du eine sehr allgemeine Frage zu Cauchyfolgen gestellt hast.

Du brauchst nur den normalen Betrag zu kennen. Wenn du willst, kannst du ja erstmal annehmen, dass Cauchyfolgen beschränkt sind und den Beweis damit führen. Ich schreib dir den Beweis mit der Beschränktheit später hier rein, bin aber grad unterwegs.

06.05.2013, 22:38

Konstanz

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okay hat sich erledigt hab es hinbekommen
hab zuerst gezeigt, dass jede Cf beschränkt ist durch epsilon = 1 und dann dass die Folge kleiner ist als Das gewählte N aus den natürlichen Zahlen
und anschließend mit diesem fakt so wie ich es vorhin gemacht habe bewiesen, dass die Multiplikation 2er Cf wieder eine CF ist
da ich dann den Betrag von a_n und b_n kleiner als eine Schranke gewählt habe
und das Epsilon dann dementsprechend angepasst
aber vielen Dank für deine Mühe
jetzt geht es noch an die LINA hausaufgaben ran habe erfahren das ich morgen abgeben muss
und gute nacht

07.05.2013, 10:06

Kickapoo

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Zitat:

Edit: Hab nochmal überlegt, ich bin mir nun recht sicher, dass die Aussage nicht für allgemeine metrische Räume gilt, aber in IR mit der Standardmetrik eben schon auch ohne Vollständigkeit.

Doch, auch in beliebigen metrischen Räumen sind Cauchyfolgen beschränkt.
Nach Definition gibt es zu $\begin{eqnarray*} \varepsilon=1 \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} N \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ , sodass für alle $\begin{eqnarray*} m \geq N \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} d(a_N,a_m) < 1 \end{eqnarray*}$ . Wählt man $\begin{eqnarray*} M:=1+max\{d(a_1,a_N),...,d(a_{N-1},a_N)\} \end{eqnarray*}$ , so gilt $\begin{eqnarray*} d(a_N,a_n) \leq M \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ .

07.05.2013, 12:49

Guppi1

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Stimmt, danke. Freude

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