abgeschlossene Einheitskugel nicht folgenkompakt

06.05.2013, 17:21

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abgeschlossene Einheitskugel nicht folgenkompakt

Meine Frage:
Hallo smile

smile

Ich stecke gerade in einer Aufgabe fest und komme nicht weiter. Man soll zeigen, dass die abgeschlossene Einheitskugel in $\begin{eqnarray*} l_\infty \end{eqnarray*}$ nicht folgenkompakt ist. Dazu soll die Folge $\begin{eqnarray*} e_n \end{eqnarray*}$ definiert durch $\begin{eqnarray*} e_n(j):= \delta_{nj} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} j \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ .

Meine Ideen:
Meine Frage wäre:
1. Wie sieht die Folge $\begin{eqnarray*} e_n \end{eqnarray*}$ aus? Meine Überlegung wäre, dass man ein festes j wählt und dann die Folge nur an der j-ten Stelle 1 ist. Ist das so richtig?

2. Ich habe mir die Definition von folgenkompakt angeschaut,demnach muss es ja eine Folge geben, die in der Einheitskugel ist, aber deren Grenzwert nicht in der Einheitskugel ist. Stimmt das so?

Über einen Ansatz oder Hilfe würde ich mich sehr freuen Augenzwinkern

Augenzwinkern

Danke schon mal smile

smile

06.05.2013, 17:26

tmo

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Zu 1. Ja, genau so sieht die Folge aus.

2. Der Ansatz wurde dir doch geschenkt. Die Folge $\begin{eqnarray*} (e_n)_n \end{eqnarray*}$ ist eine solche.

06.05.2013, 17:29

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ok, aber wenn ich jetzt eine teilfolge von so einer Folge $\begin{eqnarray*} e_n \end{eqnarray*}$ nehme, dann ist ihr Grenzwert doch wieder in der Einheitskugel? verwirrt

verwirrt

06.05.2013, 17:31

tmo

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Du sollst die Folge $\begin{eqnarray*} (e_n)_n \end{eqnarray*}$ aus Folgen von $\begin{eqnarray*} \ell_\infty \end{eqnarray*}$ betrachten.

Es geht nicht um den etwaigen Grenzwert einer einzigen reellen Folge $\begin{eqnarray*} e_n \end{eqnarray*}$ für festes $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ (der is trivialerweise 0).

06.05.2013, 17:34

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Aha, ich muss jetzt eine ganz doofe Frage stellen, aber was ist da der Unterschied? Weil $\begin{eqnarray*} l_\infty \end{eqnarray*}$ ist doch die Menge aller beschränkten Folgen??

06.05.2013, 17:43

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Ich verstehe nicht, wie der Grenzwert ein anderer als Null oder Eins sein soll... verwirrt

verwirrt

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06.05.2013, 17:47

tmo

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Wie gesagt: die Folge $\begin{eqnarray*} (e_n)_n \end{eqnarray*}$ hat gar keinen Grenzwert in $\begin{eqnarray*} \ell_\infty \end{eqnarray*}$ . Sie hat noch nichtmal einen Häfungspunkt. Genau das sollst du zeigen.

06.05.2013, 17:55

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Ok, dann weiß ich jetzt schon wenigsten was ich zeigen soll smile

smile

D.h. beim Beweis muss ich quasi eine Folge von Folgen betrachen oder genügt es eine einzelne Folge zu betrachen?
Kann man das mithilfe von der Norm beweisen?

06.05.2013, 18:14

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Wäre das ein möglicher Beweis:

Es ist $\begin{eqnarray*} B= {(x_n)_n \in l_\infty: ||x_n|| \leq 1} \end{eqnarray*}$ .
Es sei $\begin{eqnarray*} n \neq m \end{eqnarray*}$ und somit $\begin{eqnarray*} ||e_n - e_m|| = |1| + |-1| = 2 \end{eqnarray*}$ und somit gibt es keine konvergente Teilfolge, da Epsilson nicht beliebig klein werden kann.

06.05.2013, 19:16

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Könnte mir vielleicht jemand weiter helfen? Gott

Gott

06.05.2013, 19:31

Che Netzer

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Dein Beweisversuch aus dem vorigen Beitrag ist gelungen Freude

Freude

Zumindest würde mir die Argumentation ausreichen (Wenn du "Epsilon" durch "der Abstand zweier Folgen $\begin{eqnarray*} e_n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} e_m \end{eqnarray*}$ " ersetzt); du musst wissen, ob mehr Detailliertheit verlangt wird.

Ansonsten ist nur deine Darstellung der abgeschlossenen Einheitskugel zu hinterfragen.
Sicherlich sollte $\begin{eqnarray*} \lVert x_n\rVert \end{eqnarray*}$ eigentlich $\begin{eqnarray*} \lVert(x_n)\rVert \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \sup_{n\in\mathbb N}\lvert x_n\rvert \end{eqnarray*}$ heißen.
Die Folgenglieder $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ können gelegentlich aber tatsächlich aus irgendeinem Banach-Raum $\begin{eqnarray*} X_n \end{eqnarray*}$ stammen. Es gibt dazu ein interessantes Paper von M.M. Day, in dem eine Klasse solcher Räume vorgestellt werden, die ganz besondere Eigenschaften haben.

Zitat:

Ich habe mir die Definition von folgenkompakt angeschaut,demnach muss es ja eine Folge geben, die in der Einheitskugel ist, aber deren Grenzwert nicht in der Einheitskugel ist. Stimmt das so?

Nein. Du sollst zeigen, dass es eine Folge in der Einheitskugel gibt, die keine konvergente Teilfolge besitzt.

Was du beschrieben hast, würde Folgenabgeschlossenheit widerlegen, die aber gegeben ist.

06.05.2013, 19:48

Gästle

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Entschuldigung, dass ich mich einmische, aber müsste es nicht ||e_n-e_m||= 1 sein?

06.05.2013, 20:01

Che Netzer

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Stimmt, wir sind ja in $\begin{eqnarray*} \ell_\infty \end{eqnarray*}$ , nicht in $\begin{eqnarray*} \ell_1 \end{eqnarray*}$ .
Spielt aber keine große Rolle, die Hauptsache ist, dass der Abstand konstant positiv ist.

06.05.2013, 20:04

Gästle

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Ok, und dann habe ich noch eine Frage :
Es ist doch ||x+y|| <= ||x||+||y||. Wieso kann man hier nur "=" schreiben??

06.05.2013, 20:09

Che Netzer

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Das stimmte ja eben nicht.
In $\begin{eqnarray*} \ell_1 \end{eqnarray*}$ wäre aber $\begin{eqnarray*} e_n-e_m \end{eqnarray*}$ eine Folge, die an einer Stelle den Wert Eins, an einer anderen Minus Eins und sonst den Wert Null hat.
Da gälte dann die Gleichheit
$\begin{eqnarray*} \lVert e_m-e_n\rVert_{\ell_1}=\lvert1\rvert+\lvert-1\rvert\,. \end{eqnarray*}$
Das hat aber nichts mit $\begin{eqnarray*} \lVert x+y\rVert=\lVert x\rVert+\lVert y\rVert \end{eqnarray*}$ zu tun. In $\begin{eqnarray*} \ell_\infty \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \ell_1 \end{eqnarray*}$ gibt es zwar durchaus einige verschiedene Vektoren, für die das gilt, die anderen $\begin{eqnarray*} \ell_p \end{eqnarray*}$ -Räume sind aber strikt konvex.

06.05.2013, 20:14

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Ok und wo genau ist der Beweis von vorher falsch?? Das ist alles ganz verwirrend unglücklich

unglücklich

06.05.2013, 20:25

Che Netzer

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Welchen Beweis meinst du denn?

06.05.2013, 20:27

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Zitat:

Original von Fragezeiichen
Wäre das ein möglicher Beweis:

Es ist $\begin{eqnarray*} B= {(x_n)_n \in l_\infty: ||x_n|| \leq 1} \end{eqnarray*}$ .
Es sei $\begin{eqnarray*} n \neq m \end{eqnarray*}$ und somit $\begin{eqnarray*} ||e_n - e_m|| = |1| + |-1| = 2 \end{eqnarray*}$ und somit gibt es keine konvergente Teilfolge, da Epsilson nicht beliebig klein werden kann.

Den meinte ich, ist der mir 1 dann richtig?

06.05.2013, 20:29

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Zitat:

Original von Fragezeiichen
Wäre das ein möglicher Beweis:

Es ist $\begin{eqnarray*} B= {(x_n)_n \in l_\infty: ||x_n|| \leq 1} \end{eqnarray*}$ .
Es sei $\begin{eqnarray*} n \neq m \end{eqnarray*}$ und somit $\begin{eqnarray*} ||e_n - e_m|| = |1| + |-1| = 2 \end{eqnarray*}$ und somit gibt es keine konvergente Teilfolge, da Epsilson nicht beliebig klein werden kann.

Den meinte ich, ist er dann richtig mit einer 1?

06.05.2013, 20:30

Che Netzer

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Mit den Korrekturen, die bisher gebracht wurden, wäre das richtig.
Insbesondere das "Epsilon" muss da umgeschrieben werden.

06.05.2013, 20:35

Fragezeiichen

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In Ordnung, jetzt bin ich nicht mehr verwirrt smile

smile

Danke

smile

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