Erwartungstreuer Schätzer

06.05.2013, 19:04

Razen

Erwartungstreuer Schätzer

Ich habe eine Verteilungsfunktion Zi (Exponentialverteilung) und folgenden Ausdruck:

Als Erwartungswert für Zi verwende ich im folgenden 1/u, weil ich das Lambda hier gerade nicht herbekomme...

$\begin{eqnarray*} (n-1)/\sum\limits_{i=1}^n Z_{i} \end{eqnarray*}$

Ich soll nachweisen dass er erwartungstreu ist, aber bei mir ist er das nicht, ich komme auf:

(n-1) * u / n was ja eindeutig ungleich u ist, folglich nicht erwartungstreu.

Ich habe meinen Fehler (vermutlich) eingrenzen können auf:

$\begin{eqnarray*} E ((n-1) / \sum\limits_{i=1}^n Z_{i} ) \neq (n-1) / \sum\limits_{i=1}^n E (Z_{i} )<br /> \end{eqnarray*}$
Aber wie forme ich den linken Term sonst um?

06.05.2013, 20:10

HAL 9000

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Zitat:

Original von Razen
$\begin{eqnarray*} E ((n-1) / \sum\limits_{i=1}^n Z_{i} ) \neq (n-1) / \sum\limits_{i=1}^n E (Z_{i} ) \end{eqnarray*}$

Das kannst du dir ein für allemal merken

$\begin{eqnarray*} E(g(X)) = g(E(X)) \end{eqnarray*}$

gilt i.d.R. nur für lineare Funktionale $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} g(x)=ax+b \end{eqnarray*}$ mit konstanten Parametern $\begin{eqnarray*} a,b \end{eqnarray*}$ . Hier im vorliegenden Fall $\begin{eqnarray*} g(x)=\frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ erfüllt dies offenbar nicht.

---------------------------------

$\begin{eqnarray*} X_n := \sum_{i=1}^n Z_n \end{eqnarray*}$ ist Erlangverteilt $\begin{eqnarray*} \operatorname{Erl}(\lambda,n) \end{eqnarray*}$ ,
mir der zugehörigen Dichte $\begin{eqnarray*} f_n \end{eqnarray*}$ kannst du dann

$\begin{eqnarray*} E\left( \frac{n-1}{X_n} \right) = \int\limits_0^{\infty} \frac{n-1}{x}\cdot f_n(x) ~ \dd x \end{eqnarray*}$

berechnen.

06.05.2013, 20:16

Razen

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wow super, danke dir!

07.05.2013, 11:47

Razen

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...wobei es leider nur bedingt hilft. Ich hab grad versucht das Integral zu berechnen, und egal wie ich das anfange, irgendwann hab ich immer eine unendlich große Zahl als Ergebnis...?

Mein Problem bei der Erlang-Verteilung ist auch noch wie ich sie erkenne - quasi wenn ich die summe von 1 bis n über eine exponentialverteilte Zufallsvariable habe ist eine neue zufallsvariable mit der ich entsprechende summe ersetze erlangverteilt. Lambda ist klar, das n kommt von der Obergrenze der Summe?

(Ich weiß eigentlich nur das was du geschrieben hast in Worten, mir gehts um die Grenze n und Ihre Bedeutung für die Erlang-Verteilung).

Nen kürzeren Weg als Integrieren gibts hier nicht befürchte ich unglücklich

07.05.2013, 11:55

HAL 9000

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Nochmal: Es ist $\begin{eqnarray*} X_n = \sum_{i=1}^n Z_n \sim \operatorname{Erl}(\lambda,n) \end{eqnarray*}$ mit Dichte

$\begin{eqnarray*} f_n(x) = \frac{\lambda^n x^{n-1}}{(n-1)!} e^{-\lambda x} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x\geq 0 \end{eqnarray*}$ ,

und jetzt ist lediglich noch zu integrieren

$\begin{eqnarray*} E\left( \frac{n-1}{X_n} \right) = \int\limits_0^{\infty} \frac{n-1}{x}\cdot f_n(x) ~ \dd x = \int\limits_0^{\infty} \frac{\lambda^n x^{n-2}}{(n-2)!} e^{-\lambda x} ~ \dd x \end{eqnarray*}$

Und wenn du mal scharf die Augen aufmachst, dann erkennst du, dass im Integranden fast die Dichte der Erlangverteilung $\begin{eqnarray*} \operatorname{Erl}(\lambda,n-1) \end{eqnarray*}$ steht - mit Ausnahme eines zusätzlichen Faktors...

P.S.: Vielleicht sollte noch erwähnt werden, dass das ganze selbstverständlich nur für $\begin{eqnarray*} n\geq 2 \end{eqnarray*}$ Sinn macht; im Fall $\begin{eqnarray*} n=1 \end{eqnarray*}$ ist

$\begin{eqnarray*} E\left( \frac{1}{X_1} \right) = E\left( \frac{1}{Z_1} \right) = \infty \end{eqnarray*}$

07.05.2013, 13:22

Razen

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hm, der faktor den du vors integral ziehst ist dann wohl lambda und drinnen bleibt nur noch Erl (lambda, n-1), ok hab ich soweit verstanden. Dann integrierst du also die Erlang-Dichte und raus kommt

Erl-Vert-Fkt(unendlich) - Erl-Vert-Fkt (0)

Dummerweise kann ich mit keiner der drei bei Wiki angegebenen Verteilungsfunktionen wirklich rechnen, wie rechne ich denn da mit der Summe?

Danke für deine Geduld smile

07.05.2013, 17:07

HAL 9000

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Zitat:

Original von Razen
Dummerweise kann ich mit keiner der drei bei Wiki angegebenen Verteilungsfunktionen wirklich rechnen, wie rechne ich denn da mit der Summe?

Was willst du denn jetzt noch groß rechnen? Wenn du weißt, dass der Integrand (nach dem Herausziehen des Faktors $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ ) eine W-Dichte ist, dann ist das Gesamtintegral gleich Eins!!!

07.05.2013, 17:09

Razen

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ich wusste ich hab was übersehen unglücklich

danke dir

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