Sinusfunktion

06.05.2013, 20:15

Sarliefer

Sinusfunktion

Hallo,

$\begin{eqnarray*} \sin(xy\pi ) =0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow xy\pi =k\pi \end{eqnarray*}$

kann mir jemand bitte erläutern, wie diese Folgerung zustande kommt?

Ich hätte jetzt eher gedacht, dass $\begin{eqnarray*} xy\pi =0 \end{eqnarray*}$ ergibt, da man ja den $\begin{eqnarray*} arcsin \end{eqnarray*}$ verwendet und das bei 0 wiederum 0 ergibt

Wäre sehr dankbar wenn mir weiterhelfen könnte smile

06.05.2013, 20:36

Kenji

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Hallo

Der arcsin hat aber nicht nur eine Lösung. Der sinus hat nämlich unendlich viele Nullstellen, nämlich immer bei $\begin{eqnarray*} k \pi, k \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$
Deshalb ist $\begin{eqnarray*} arcsin(0) = k \pi \end{eqnarray*}$ wenn man das genau anschaut.

06.05.2013, 21:40

HAL 9000

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Zitat:

Original von Kenji
Der sinus hat nämlich unendlich viele Nullstellen, nämlich immer bei $\begin{eqnarray*} k \pi, k \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ .

Richtig.

Zitat:

Original von Kenji
Der arcsin hat aber nicht nur eine Lösung. [...]
Deshalb ist $\begin{eqnarray*} arcsin(0) = k \pi \end{eqnarray*}$

Falsch: Unter $\begin{eqnarray*} \arcsin \end{eqnarray*}$ versteht man gewöhnlich keine "mehrwertige" Funktion, sondern das ist die eindeutig bestimmte Umkehrfunktion von

$\begin{eqnarray*} f(x) = \sin(x),\quad x\in \left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right] \end{eqnarray*}$ .

D.h, $\begin{eqnarray*} \arcsin \end{eqnarray*}$ ist nicht die Umkehrfunktion von

$\begin{eqnarray*} f(x) = \sin(x),\quad x\in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ,

die gibt es nämlich überhaupt nicht. Man kann aber mit Hilfe des eindeutig definierten $\begin{eqnarray*} \arcsin \end{eqnarray*}$ sämtliche unendlich viele Lösungen $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ einer Gleichung $\begin{eqnarray*} \sin(x)=y \end{eqnarray*}$ für gegebenes $\begin{eqnarray*} y\in[-1,1] \end{eqnarray*}$ angeben:

$\begin{eqnarray*} \arcsin(y) + 2k\pi \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -\arcsin(y) + (2k+1)\pi \end{eqnarray*}$

wobei $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ die ganzen Zahlen durchläuft.

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