Dezimalstellen von Fakultäten abschätzen

06.05.2013, 20:46

highq82

Dezimalstellen von Fakultäten abschätzen

Hi, ich hänge an der letzten Aufgabe vom Übungsblatt. Aufgabenstellung wie folgt.

Berechne die Anzahl der Dezimalstellen (Taschenrechner erlaubt) der Zahl 4000! (Also 4000 Fakultät)
Bestimme ihre 3 führenden Ziffern.

Mein Computer Spuckt mir ein Ergebnis aus, aber ich vermute wir sollen es irgendwie über den 10er Logarithmus abschätzen. Leider fällt mir kein so rechter Ansatz ein. Mit der Stirlingformel ist mein Taschenrechner auch überfordert.

Ideen?

06.05.2013, 21:11

Kenji

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Hallo

Die Stirlingformel ist ja:

$\begin{eqnarray*} n! \simeq \sqrt{2 \pi n} *n^n *e^{-n} \end{eqnarray*}$

Davon nimmst du einfach den 10-er logarithmus:

$\begin{eqnarray*} log(n!) \simeq log(\sqrt{2 \pi n} *n^n *e^{-n}) \end{eqnarray*}$

Diese Zahl ist viel kleiner und sollte von jedem Taschenrechner berechenbar sein. (Benutze die normalen Umformungen die mit log erlaubt sind.) Aufrunden, und du hast deine Anzahl Stellen.

Hier zum überprüfen (erst nach dem Lösen!):
http://www.wolframalpha.com/input/?i=4000%21
http://www.wolframalpha.com/input/?i=log...0*log_10%28e%29

EDIT: Für die führenden Ziffern ist mich noch nichts gescheites eingefallen.

06.05.2013, 21:46

HAL 9000

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Zitat:

Original von Kenji
Für die führenden Ziffern ist mich noch nichts gescheites eingefallen.

Na mit derselben Methode: Für $\begin{eqnarray*} y = \lg(x) \end{eqnarray*}$ gilt ja

$\begin{eqnarray*} x = 10^y = 10^{y-\lfloor y \rfloor} \cdot 10^{\lfloor y \rfloor} \end{eqnarray*}$ ,

das ist bereits die Zehnerpotenzdarstellung: Mit Mantisse $\begin{eqnarray*} M=10^{y-\lfloor y \rfloor}\in [1,10) \end{eqnarray*}$ sowie Exponent $\begin{eqnarray*} E=\lfloor y \rfloor\in \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ .

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