Verschoben! Beidseitige Annäherung

06.05.2013, 22:11

Schwer

Auf diesen Beitrag antworten »

Beidseitige Annäherung

Meine Frage:
Guten Abend ,ich hoffe irgendwer kann mir helfen . Ich versuche gerade die Differnzierbarkeit zu überprüfen . Bin gerade bei der funktion : f(x)= /x^2-1/ <-- das sollen betragsstriche sein
Ich verusuche mich gerade an x=1 , wo halt dieser Knick ist , ist ja klar , dass die Funktion dort nicht differenzierbar ist , allerdings möchte ich das durch eine Rechnung beweisen : auf der rechten seite viel es mir sehr leicht die Tangentensteigung für diesen Punnkt zu errechnen : $\begin{eqnarray*} \frac{(x^{2}-1)-0 }{x-1} \end{eqnarray*}$ kam da so x+1 raus , habe es dann noch versucht etwas allgemeiner zu machen $\begin{eqnarray*} \lim_{xo \to x} \frac{(xo^{2}-1)-(x^{2}-1 ) }{xo-x} \end{eqnarray*}$ , da kam dann 2x raus kam auch noch hin. WEnn ich jetzt aber die Annäherung von der anderen Seite machen wollte kam da irgendwie nichts geschietes raus --> $\begin{eqnarray*} \lim_{xo \to x} \frac{(x^{2}-1)-(xo^{2} -1) }{x-xo} \end{eqnarray*}$ da kam jetzt wieder 2x raus ,was ja nicht sein kann und bei dem anderen weg : $\begin{eqnarray*} \frac{0-(x^{2}-1) }{1-x} \end{eqnarray*}$ , da kam auch wieder x+1 raus???

Meine Ideen:
was mache ich bei der anderen Annäherung falsch , bitte einmal ganz verständlich erklären und vorallem warum anders

07.05.2013, 07:49

Bürgi

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Beidseitige Annäherung
Guten Morgen!

Schreibe die Funktionsgleichung betragsfrei

$\begin{eqnarray*} f(x)=|x^2-1|= \left\{ \begin{array}{rcl}x^2-1&\text{falls}&x^2-1\ge0~\implies~x\ge1 \vee x\le -1 \\ -(x^2-1)&\text{falls}&x^2-1< 0~\implies~-1 < x < 1 \end{array} \right. \end{eqnarray*}$

Führe nun Deine Untersuchungen noch einmal durch unter Beachtung des jeweiligen Definitionsbereiches.

07.05.2013, 09:12

Schwer

Auf diesen Beitrag antworten »

Genau diesen Schritt kann ich irgendwie nicht nachvollziehen , könntest du den noch einmal erlääutern ? warum kommt den da jetzt bei dem einen einfach ein minus vor ?? traurig

traurig

07.05.2013, 09:13

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Da hilft ein Blick in die Definition von |x|. smile

smile

07.05.2013, 10:04

Schwer

Auf diesen Beitrag antworten »

ok ,alles klar der abstand zur null ist immer x^2-1 sowohl für (x^2 -1) als auch für -(x^2-1) , woher weiß man jetzt aber , dass dieses -(x^2-1) zwischen 1und -1 gilt ,wie kann man das wissen ,wenn man des Graphen sieht ist es ja klar , aber wenn ncith woher weiß man das ?

07.05.2013, 10:12

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Na ja, das hat doch Bürgi aufgeschrieben: |x² - 1| = -(x² - 1) wenn x² - 1 < 0 ist.
Jetzt muß sich eben nur noch Gedanken machen, wann x² - 1 < 0 ist.

Anzeige

07.05.2013, 10:17

Schwer

Auf diesen Beitrag antworten »

ist damit gemeint wenn so zusagen F(x) negativ wäre , was ja bei der normalen Funktion (x^2-1)ohne betrag bei 1 und -1 wäre , also da wo der Graph jetzt so hoch geklappt ist ? aber woher weiß man dass , wenn man den Graph nicht sieht , ich meine Bürgi hat sich das ja auch nicht einfach ausgedacht , wo erkennt man dran ?

07.05.2013, 10:33

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weiß jetzt nicht, warum du dich damit so schwer (Nomen est omen) tust. Rein formal ist |f(x)| = -f(x) wenn f(x) < 0 ist. Also muß man - wie auch immer - den Bereich finden, wo das der Fall ist. Für die Ungleichung x² - 1 < 0 ist das noch relativ leicht (auch ohne den Funktionsgraph zu kennen) zu lösen.

07.05.2013, 10:36

Schwer

Auf diesen Beitrag antworten »

ach ok die letzte frag hat sich erledigt , hab es gerade selber erkannt smile

smile

wenn ich jetzt alles nach diesem Muster mache würde die linksseitige annäherung so aussehen :
$\begin{eqnarray*} \frac{0--(x^{2}-1) }{1-x} \end{eqnarray*}$ da kommt dann -x-1 raus oder halt $\begin{eqnarray*} \lim_{xo \to x} \frac{-(x^{2}-1)--(xo^{2}-1) }{x-xo} \end{eqnarray*}$ da würde -2x rauskommen ? richtig ?

07.05.2013, 10:54

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Schwer
wenn ich jetzt alles nach diesem Muster mache würde die linksseitige annäherung so aussehen :
$\begin{eqnarray*} \frac{0--(x^{2}-1) }{1-x} \end{eqnarray*}$

Dient das zur Verwirrung der Mitmenschen? Auch wenn es richtig ist, würde ich es eher so schreiben: $\begin{eqnarray*} \frac{-(x^2-1) - 0}{x-1} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Schwer
oder halt $\begin{eqnarray*} \lim_{xo \to x} \frac{-(x^{2}-1)--(xo^{2}-1) }{x-xo} \end{eqnarray*}$ da würde -2x rauskommen ? richtig ?

Na ja, richtig ist: $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x_0} \frac{-(x^2 - 1) - (-(x_0^2 - 1))}{x - x_0} = -2x_0 \end{eqnarray*}$

Das ganze natürlich für -1 < x_0 < 1.

07.05.2013, 10:59

Schwer

Auf diesen Beitrag antworten »

kann es sein , dass du bei dem 2 teil unter lim x--> x0 verdreht hast ? ,wenn es so steht kommt nämlich was falsches raus anders herum kommt wieder das richtige raus ?

07.05.2013, 11:39

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich weiß nicht, welche Definition du für die Ableitung nimmst; ich nehme diese:

$\begin{eqnarray*} f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} \end{eqnarray*}$

07.05.2013, 11:45

schwer

Auf diesen Beitrag antworten »

mhh ja ich habe bei meiner ableitung generell immer xo und x andersherum.... wäre es dann jetzt richtig ?

07.05.2013, 11:46

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Was ist jetzt "es"?

07.05.2013, 11:50

schwer

Auf diesen Beitrag antworten »

meine ganzen voherigen gleichungen habe ich nach diesem prinzip gemacht , du bist ja von deiner eben genannten ableitungs definition ausgegangen und ich von meiner wo xo und x ja andersherum waren als bei deiner , ist jetzt doch alles falsch traurig

traurig

07.05.2013, 11:58

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von schwer
du bist ja von deiner eben genannten ableitungs definition ausgegangen und ich von meiner wo xo und x ja andersherum waren als bei deiner

Dann schreib doch mal genau auf, welche Ableitungsdefinition ihr gemacht habt.
Aber wie dem auch sei. Letztlich sind nur x und x_0 vertauscht und das Ergebnis -2x_0 bzw. -2x ist auch richtig.

07.05.2013, 12:01

schwer

Auf diesen Beitrag antworten »

ich meinte immer diese hier : $\begin{eqnarray*} \lim_{xo\to x} \frac{f(xo) -f(x)}{xo-x} \end{eqnarray*}$

07.05.2013, 12:18

schwer

Auf diesen Beitrag antworten »

nur noch mal so :
wenn ich eine ganz normale normalparabel habe und da in die steigung in einem Punkt haben möchte wäre es bei der :
einen seite so : $\begin{eqnarray*} \lim_{xor \to x} \frac{xor^{2}-x^{2} }{xor-x} \end{eqnarray*}$ dabei steht xor: für den punkt rechts von x gesehen
und für die andere Seite : $\begin{eqnarray*} <br /> \lim_{xol \to x} \frac{x^{2}-xol^{2} }{x- xol} \end{eqnarray*}$ , xol für punkt links von x

ich hoffe jetzt echt das das so richtig ist unglücklich

unglücklich

07.05.2013, 12:40

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Wie gesagt: für mich ist diese Form der Definition ungewöhnlich, deswegen frage ich ja auch danach, ob ihr das tatsächlich so definiert habt.

Ich kenne das so:
Die linksseitige Ableitung an der Stelle x_0 ist $\begin{eqnarray*} f'_l(x_0) = \lim_{x \nea x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} \end{eqnarray*}$

Die rechtsseitige Ableitung an der Stelle x_0 ist $\begin{eqnarray*} f'_r(x_0) = \lim_{x \sea x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} \end{eqnarray*}$

07.05.2013, 12:55

Schwer

Auf diesen Beitrag antworten »

ok ,gut alles klar , solange diese schiefen Pfeile vom x0 zum x nicht irgendwas ganz neues bedeuten , weiß ich erst einmal bescheid smile

smile

vielen, vielen Dank Wink

Wink

07.05.2013, 12:57

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Die schiefen Pfeile bedeuten folgendes:

$\begin{eqnarray*} x \nea x_0 \end{eqnarray*}$ : x nähert sich von unten (links) an x_0 an.

$\begin{eqnarray*} x \sea x_0 \end{eqnarray*}$ : x nähert sich von oben (rechts) an x_0 an.

Sonst wäre da ja auch kein Unterschied.

07.05.2013, 13:06

schwer

Auf diesen Beitrag antworten »

alles klar Freude

Freude

dankeschön

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »