Metrische Räume im Bezug auf Folgen

06.05.2013, 22:15

Gast06

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Metrische Räume im Bezug auf Folgen

Meine Frage:
Guten Abend smile

smile

Ich bin gerade am Verzweifeln und hoffe, dass mir hier jemand weiter helfen kann. Ich habe folgende Metrik:
$\begin{eqnarray*} d_R(x,x)=0, d_R(x,y)=d_R(x,R)+d_R(y,R) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x \neq y \end{eqnarray*}$
und die folgenden Teilaufgaben:
(a) $\begin{eqnarray*} lim_{k --> \infty} x_k = x* \neq R \end{eqnarray*}$ bzgl. $\begin{eqnarray*} d_R \end{eqnarray*}$ gilt genau dann, wenn $\begin{eqnarray*} x_k=x* \end{eqnarray*}$ für fast alle k.
(b) $\begin{eqnarray*} lim_{k --> \infty} x_k = R \end{eqnarray*}$ bzgl. $\begin{eqnarray*} d_R \end{eqnarray*}$ gilt genau dann, wenn $\begin{eqnarray*} lim_{k --> \infty} x_k = R \end{eqnarray*}$ in (X,d).

Meine Ideen:
Ich bin leider etwas hilflos, was diese Teilaufgaben angeht und würde mich über ein paar Tipps und Ansätze freuen.

07.05.2013, 00:37

Che Netzer

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RE: Metrische Räume im Bezug auf Folgen
Ich weiß zum Glück, was gemeint ist; achte beim nächsten mal aber darauf, die Aufgabenstellung etwas sauberer aufzuschreiben.

Erstmal zur a):
Zeige hierzu, dass jedes $\begin{eqnarray*} x\in X \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x\neq x^* \end{eqnarray*}$ einen gewissen (konstanten und positiven) Mindestabstand zu $\begin{eqnarray*} x^* \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} (X,d_R) \end{eqnarray*}$ haben muss.

07.05.2013, 16:21

Gast06

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RE: Metrische Räume im Bezug auf Folgen
Man kann es ja in die definierte Metrik einsetzen und dann sieht man ja, dass der Wert nicht null ist...

07.05.2013, 18:53

Che Netzer

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RE: Metrische Räume im Bezug auf Folgen
Was kann man in die Metrik einsetzen?
Wovon redest du?

07.05.2013, 20:24

Gast06

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RE: Metrische Räume im Bezug auf Folgen

Zitat:

Original von Che Netzer
Was kann man in die Metrik einsetzen?
Wovon redest du?

Ich meinte das so: $\begin{eqnarray*} d_R(x,x*)=d_R(x,R)+d_R(x*,R) \end{eqnarray*}$ dann ist der letzte Term auf jeden Fall ungleich O.

07.05.2013, 20:52

Che Netzer

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RE: Metrische Räume im Bezug auf Folgen
Und weiter?

Übrigens: In der Definition von $\begin{eqnarray*} d_R \end{eqnarray*}$ sollte es doch wohl
$\begin{eqnarray*} d_R(x,y)=d(x,R)+d(R,y) \end{eqnarray*}$
heißen. Wieso schreibst du dieses $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ noch mit?

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07.05.2013, 20:56

Gast06

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RE: Metrische Räume im Bezug auf Folgen
Nein, nein, dass ist schon so richtig, dass R ist ein festes R und kommt aus X. Und (X,d) ist ein metrischer Raum

07.05.2013, 20:59

Che Netzer

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RE: Metrische Räume im Bezug auf Folgen
Ja, $\begin{eqnarray*} (X,d) \end{eqnarray*}$ ist ein metrischer Raum.
Und dann wird darauf eine neue Metrik $\begin{eqnarray*} d_R \end{eqnarray*}$ definiert – wie genau wird die definiert?
Speziell: Wie wird $\begin{eqnarray*} d_R(x,R) \end{eqnarray*}$ definiert?

07.05.2013, 21:03

Gast06

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RE: Metrische Räume im Bezug auf Folgen

Zitat:

Original von Gast06

$\begin{eqnarray*} d_R(x,x)=0, d_R(x,y)=d_R(x,R)+d_R(y,R) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x \neq y \end{eqnarray*}$

Die wird so definiert, mehr Informationen habe ich nicht.

07.05.2013, 21:04

Che Netzer

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RE: Metrische Räume im Bezug auf Folgen
Und du bist dir ganz sicher, dass dort nicht $\begin{eqnarray*} d_R(x,y)=d(x,R)+d(y,R) \end{eqnarray*}$ ] steht?
Du hast ja auch nirgends $\begin{eqnarray*} R\in X \end{eqnarray*}$ geschrieben.
Schreib die Aufgabenstellung doch etwas genauer ab.

07.05.2013, 21:16

Gast06

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RE: Metrische Räume im Bezug auf Folgen
Ja, das stand auf dem alten Aufgabenblatt und das wurde nachträglich geändert, also kann ich auch nichts dafür. So wie du es aufgeschrieben hast, ist es jetzt richtig.

07.05.2013, 21:24

Che Netzer

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RE: Metrische Räume im Bezug auf Folgen
Na bitte...

Also zurück zur Aufgabe: Was schließt du denn daraus, dass $\begin{eqnarray*} d(x^*,R)>0 \end{eqnarray*}$ ?

07.05.2013, 21:30

Gast06

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RE: Metrische Räume im Bezug auf Folgen
Weil x* ungleich R ist, kann man das nicht so sagen?

07.05.2013, 21:33

Gast06

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RE: Metrische Räume im Bezug auf Folgen
Ich habe mich verlesen.

Also ich würde daraus schließen, dass d(x,x*)>O ist.

07.05.2013, 21:33

Che Netzer

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RE: Metrische Räume im Bezug auf Folgen
Ja, dass $\begin{eqnarray*} d(x^*,R)>0 \end{eqnarray*}$ ist, steht auch nicht zur Debatte. Aber inwiefern hilft dir das?

Edit: Dass $\begin{eqnarray*} d_R(x^*,x)>0 \end{eqnarray*}$ , ist für $\begin{eqnarray*} x\neq x^* \end{eqnarray*}$ auch klar Augenzwinkern

Augenzwinkern

07.05.2013, 21:39

Gast06

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RE: Metrische Räume im Bezug auf Folgen
Damit ist doch gezeigt, dass es einen Abstand zwischen x und x* gibt, jetzt muss noch zeigen, dass er konstant ist? Oder muss er das nicht sein?

07.05.2013, 21:41

Che Netzer

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RE: Metrische Räume im Bezug auf Folgen
Berücksichtige doch mal meinen Hinweis:

Zitat:

Zeige hierzu, dass jedes $\begin{eqnarray*} x\in X \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x\neq x^* \end{eqnarray*}$ einen gewissen (konstanten und positiven) Mindestabstand zu $\begin{eqnarray*} x^* \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} (X,d_R) \end{eqnarray*}$ haben muss.

Du hast jetzt nur gezeigt, dass von $\begin{eqnarray*} x^* \end{eqnarray*}$ verschiedene Punkte einen positiven Abstand zu $\begin{eqnarray*} x^* \end{eqnarray*}$ haben, was ohnehin klar ist.

In $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ mit der Standardmetrik hat $\begin{eqnarray*} \frac1n \end{eqnarray*}$ auch immer einen positiven Abstand zur Null, konvergiert aber trotzdem gegen Null für $\begin{eqnarray*} n\to\infty \end{eqnarray*}$ .

07.05.2013, 21:49

Gast06

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RE: Metrische Räume im Bezug auf Folgen

Zitat:

Original von Gast06

Ich meinte das so: $\begin{eqnarray*} d_R(x,x*)=d(x,R)+d(x*,R) \end{eqnarray*}$

Kann ich mit der Gleichung weiter machen?

07.05.2013, 21:50

Che Netzer

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RE: Metrische Räume im Bezug auf Folgen
Ja.

07.05.2013, 21:56

Gast06

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RE: Metrische Räume im Bezug auf Folgen
Bringt mich der Schritt weiter:

$\begin{eqnarray*} d_R(x,x*)=d(x,R)+d(x*,R)>= d(x,x*) \end{eqnarray*}$

07.05.2013, 21:57

Che Netzer

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RE: Metrische Räume im Bezug auf Folgen
Fast; da hast du den falschen Summanden zu Null abgeschätzt.

07.05.2013, 22:04

Gast06

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RE: Metrische Räume im Bezug auf Folgen
Das verstehe ich jetzt nicht, ich habe eigentlich nur die Dreiecksungleichung benutzt.

07.05.2013, 22:07

Che Netzer

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RE: Metrische Räume im Bezug auf Folgen
Dann benutze mal eine andere Eigenschaft der Metrik.
Was kannst du über $\begin{eqnarray*} d(x,R) \end{eqnarray*}$ sagen?

07.05.2013, 22:11

Gast06

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RE: Metrische Räume im Bezug auf Folgen
Ich kann sagen. Dass das das Gleiche ist wie d(R,x) ist. Mehr Eigenschaften kenne ich leider nicht.

07.05.2013, 22:14

Che Netzer

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RE: Metrische Räume im Bezug auf Folgen
Bei der Definition einer Metrik habt ihr aber noch einen bestimmten Bereich angegeben, in dem sich nun $\begin{eqnarray*} d(x,R) \end{eqnarray*}$ befinden muss.

07.05.2013, 22:22

Gast06

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RE: Metrische Räume im Bezug auf Folgen
Ja, im positiven, aber mehr ist nicht angegeben.

07.05.2013, 22:24

Che Netzer

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RE: Metrische Räume im Bezug auf Folgen
Das ist doch schonmal ganz gut.
Nutze das, um $\begin{eqnarray*} d_R(x,x^*)=d(x,R)+d(x^*,R) \end{eqnarray*}$ nach unten gegen etwas abzuschätzen, was unabhängig von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ist.

07.05.2013, 22:34

Gast06

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RE: Metrische Räume im Bezug auf Folgen
Mir fällt nur ein, dass es größer als Null ist, abe so weit war ich ja schon.

07.05.2013, 22:34

Che Netzer

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RE: Metrische Räume im Bezug auf Folgen
Du sollst nun aber nur EINEN der beiden Summanden damit abschätzen.

07.05.2013, 22:39

Gast06

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RE: Metrische Räume im Bezug auf Folgen
Wie denn? Ich weiß doch nur, dass sie größer als 0 sind?

07.05.2013, 22:41

Che Netzer

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RE: Metrische Räume im Bezug auf Folgen
(größer gleich)

Ja, und das sollst du jetzt auch benutzen.

07.05.2013, 22:45

Gast06

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RE: Metrische Räume im Bezug auf Folgen
$\begin{eqnarray*} d_R(x,x^*)>=d(x^*,R) \end{eqnarray*}$ ????

07.05.2013, 22:47

Che Netzer

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RE: Metrische Räume im Bezug auf Folgen
Genau.
D.h. $\begin{eqnarray*} d_R(x,x^*) \end{eqnarray*}$ hat mindestens den positiven Wert $\begin{eqnarray*} d(x^*,R) \end{eqnarray*}$ , falls $\begin{eqnarray*} x\neq x^* \end{eqnarray*}$ .
Kannst du nun den Bezug zur Aufgabenstellung herstellen und die gegen $\begin{eqnarray*} x^* \end{eqnarray*}$ bezüglich $\begin{eqnarray*} d_R \end{eqnarray*}$ konvergenten Folgen charakterisieren?

07.05.2013, 22:52

Gast06

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RE: Metrische Räume im Bezug auf Folgen
Ich kann es mal versuchen: Also ich sehe, dass es immer mindestens einen Abstand gibt, wenn x ungleich x*, wenn ich nun aber eine konvergente Folge möchte muss der Abstand für n gegen unendlich immer kleiner werden. Somit müssen fast alle x_k gleich x* sein.

07.05.2013, 22:53

Che Netzer

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RE: Metrische Räume im Bezug auf Folgen
Genau (auch wenn das noch etwas schöner aufgeschrieben werden sollte).

07.05.2013, 22:56

Gast06

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RE: Metrische Räume im Bezug auf Folgen
Ok, dass lässt sich noch machen. Und wie geht's nun weiter?

07.05.2013, 22:57

Che Netzer

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RE: Metrische Räume im Bezug auf Folgen
Jetzt betrachte mal irgendein $\begin{eqnarray*} x\in X \end{eqnarray*}$ und sieh, wie du $\begin{eqnarray*} d_R(x,R) \end{eqnarray*}$ schreiben kannst.

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