f injektiv und stetig ist offene abbildung

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12345678 Auf diesen Beitrag antworten »
f injektiv und stetig ist offene abbildung
Meine Frage:
Sei U offene Teilmenge des R² und f: U --> R² stetig und injektiv. Zeige: Unter f sind Bilder offener Mengen offen.

Hinweis: Verwende den Jordanschen Kurvensatz.

Meine Ideen:
Der Jordansche Kurvensatz sagt ja, dass wenn ich vom Einheitskreis stetig und injektiv in den R² abbilde, den R² in zwei disjunkte Mengen zerlege, die gemeinsamen Rand (nämlich das Bild vom Einheitskreis) haben und vereinigt zusammen mit dem Rand ganz R² ergeben. Genau eine der beiden Mengen ist dabei beschränkt.

Aber jetz krieg ich irgendwie keine Verbindung zur Aufgabe hin: Ich vermute mal, dass die stetige, injektive Abbildung vom Jordanschen Kurvensatz mein f wird. Aber was hat mein U mit dem Einheitskreis zu tun?
rigorous calculus Auf diesen Beitrag antworten »

Für jeden Punkt x in U gibt es einen abgeschlossenen Ball um x, der in U liegt. Auf das Bild von diesem unter f kann man den Kurvensatz anwenden.
rc Auf diesen Beitrag antworten »

Korrektur: Auf das Bild vom Rand von U, was ja ein Kreis ist.
12345678 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke schonmal!
Aber wieso kann ich den Kurvensatz darauf anwenden?
Mir ist nicht klar inwiefern der abgeschlossene Ball etwas mit der 1-Sphäre zu tun hat, die ich ja für den Jordanschen Kurvensatz brauche?

Ich meine der Rand vom abgeschlossenen Ball ist sowas wie die verkleinerte 1-Sphäre, aber wie hilft mir das weiter?
rigorous calculus Auf diesen Beitrag antworten »

Ob verkleinerte 1-Sphäre oder die 1-Sphäre selber ändert nichts an der Anwendbarkeit des Satzes, da diese homöomorph sind.
12345678 Auf diesen Beitrag antworten »

ah ok!

Dann wende ich also den Jordanschen Kurvensatz auf den Rand an, der ein Kreis ist (dass es nicht der einheitskreis ist ist egal oder?).

Dann erhalte ich, dass das das Bild vom Rand den R² in zwei disjunkte Mengen zelegt, von denen genau eine beschränkt ist.

Aber ich hab ja noch keine Aussage darüber was im inneren ist, vom Bild vom Rand und was außerhalb oder?

Oder muss das Innere von der Kresisscheibe nach Stetigkeit im inneren des Bilds vom Rand sein?
 
 
12345678 Auf diesen Beitrag antworten »

ahh ok das mit dem einheitskreis hast du grad eh schon beantwortet, habs grad erst gesehen Augenzwinkern
rc Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Oder muss das Innere von der Kresisscheibe nach Stetigkeit im inneren des Bilds vom Rand sein?

Das geht in die richtige Richtung. Zunächst einmal weißt du, dass das Bild des Inneren zusammenhängend ist nach Stetigkeit von f. Also ist es Teilmenge von einer der beiden disjunkten Mengen, denn die sind ja zusammenhängend. Und zwar von der Komponente, die auch f(x) enthält. Jetzt müsste noch gezeigt werden, dass das Bild schon gleich dieser Komponente ist.
Kam bei euch z.B. dran, dass R^2 ohne das injektive Bild von einem abgeschlossenen Ball zusammenhängend ist ?
12345678 Auf diesen Beitrag antworten »

ah, ok danke!

Hab ich das richtig verstanden:

wir wissen jetzt schon, dass das Innere vollständig innerhalb einer der beiden Komponenten liegt, und dass f(x) darin liegt, und jetzt müssen wir nur noch zeigen, dass das Bild des Inneren gleich der einen Komponente ist und das Bild vom Rand also insbesondere nicht dazugehört, damit wir also wissen, dass das Bild vom Inneren offen ist, weil es keinen Rand hat?

nein, das kam leider nicht dran
rc Auf diesen Beitrag antworten »

Das Bild vom Rand muss disjunkt zum Bild vom Inneren sein, da f injektiv ist.

Das Bild von Inneren ist dann offen, weil die beiden disjunkten Mengen in der Zerlegung vom Kurvensatz offen sind (als Komplement des Abschlusses der jeweils anderen Menge).

Man braucht jetzt aber wohl noch einen nichttrivialen Satz (ich kenne es mit dem gerade genannten, den ihr nicht hattet), um den Rest zu beweisen.
12345678 Auf diesen Beitrag antworten »

hmm, jetzt stehe ich auf dem schlauch:

ich sehe nicht mehr so ganz, was zu beweisen noch fehlt: Wir haben ja für jedes x aus U uns das f(x) angeschaut, und es liegt in einer offenen Menge. Müssen wir jetzt zeigen, dass die offene Menge die wir für ein einzelnes x gefunden haben dieselbe offene Menge ist wie für jedes andere x auch?

Und jetzt komm ich durcheinander: Was bringt das jetzt genau? sorry, ich hab irgendwie den Faden verloren..
12345678 Auf diesen Beitrag antworten »

bzw. was genau bringt es uns, wenn wir beweisen können, dass das Bild des Inneren eines abgeschlossenen Balles ums x = der einen Komponente ist?
rc Auf diesen Beitrag antworten »

Diese Komponente ist wie schon gesagt offen. Dass es eine offene Umgebung von f(x) gibt, die im Bild von f enthalten ist, ist doch zu zeigen.
rc Auf diesen Beitrag antworten »

Also um es nochmal klar zu machen, wir haben an dieser Stelle noch keine solche offene Menge gefunden (bzw. als solche erkannt).
12345678 Auf diesen Beitrag antworten »

Ahh ok, danke, also ist die Argumentation wie folgt:

1. Nimm x in U, es gibt abgeschlossene Kugel um x.

2. betrachte Rand der Kugel (der ein Kreis ist) und wende Jordanschen Kurvensatz drauf an:
liefert: Einteilung des R² in zwei disjunkte offene Mengen die beide nicht das Bild vom Rand enthalten(??), die jeweils das Bild vom Rand als Rand haben (also sind beide Komponenten offen(??).

3. Das Bild vom Inneren ist zusammnehängend, also komplett in derjenigen Komponente, in der auch f(x) ist.

4. Jetzt ist noch zu zeigen, dass das Bild vom Inneren = eine der beiden Komponenten ist, da wir sonst nicht wissen, ob
das Bild vom Inneren überhaupt offen ist(??).

Stimmt das so?

Wäre das Bild vom Inneren dann die beschränkte Komponente? oder lässt sich das allgemein nicht sagen?
rc Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das stimmt alles.
Zitat:
betrachte Rand der Kugel (der ein Kreis ist) und wende Jordanschen Kurvensatz drauf an:
liefert: Einteilung des R² in zwei disjunkte offene Mengen die beide nicht das Bild vom Rand enthalten(??), die jeweils das Bild vom Rand als Rand haben (also sind beide Komponenten offen(??).

Wegen der Fragezeichen: Der Kurvensatz sagt einfach, dass R^2 in dieser Situation disjunkte Vereinigung von 3 Mengen ist: dem Bild vom Kreis sowie 2 offenen zusammenhängenden Mengen, wovon genau eine beschränkt ist.

Zitat:
Wäre das Bild vom Inneren dann die beschränkte Komponente? oder lässt sich das allgemein nicht sagen?

Ja, das wäre dann auch gezeigt. Das Bild vom abgeschlossenen Ball ist kompakt, also beschränkt, und enthält das Bild vom Inneren.
12345678 Auf diesen Beitrag antworten »

ok, super, danke smile

angenommen ich dürfte verwenden, dass R^2 ohne das injektive Bild von einem abgeschlossenen Ball zusammenhängend ist, würde folgen, dass die R² ohne das Bild vom Rand und ohne das Bild vom Inneren zusammenhängend ist, und nach Jordanschem Kurvensatz wird der R² in genau zwei Zusammenhangskomponenten geteilt, folglich wäre die andere Komponente dann genau das Innere, womit der Beweis fertig wäre.

Stimmt das auch?
rc Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von 12345678
.. und nach Jordanschem Kurvensatz wird der R² in genau zwei Zusammenhangskomponenten geteilt, folglich wäre die andere Komponente dann genau das Innere, womit der Beweis fertig wäre.

Das ist zu ungenau, hieraus wird mir beim Lesen nicht klar, wie der Beweis abläuft.
Es fehlt aber nicht mehr viel. Nennen wir die beiden Komponenten (gemäß Kurvensatz) V,W wobei V das Bild vom Inneren, aber nicht alles davon enthält. R^2 ohne das Bild vom abgeschlossenen Ball enthält nun Punkte in V sowie ganz W.
12345678 Auf diesen Beitrag antworten »

Daraus folgt dann aber, dass es eine zusammenhängende Menge gibt, die ganz U und zusätzlich noch Punkte aus V enthält, was aber nicht sein kann, da V und U die beiden Zusammenhangskomponenten sind? klappt das so?

Und was mich jetzt verwirrt: ich dachte, es wäre genau andersrum: ich dachte, wir wissen bereits, dass das Bild vom Innern ganz in V liegt, aber nicht, ob V evt. noch andere Punkte außer denen vom Bild vom Inneren enthält?

Hab ich mich da getäuscht und wir wissen, dass das innere V enthält, aber nicht andersrum??

ich versteh nicht ganz was du mit " wobei V das Bild vom Inneren, aber nicht alles davon enthält" meinst, enthält V also eine Teilmenge des Bildes vom Inneren?
rc Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von 12345678
Daraus folgt dann aber, dass es eine zusammenhängende Menge gibt, die ganz U und zusätzlich noch Punkte aus V enthält, was aber nicht sein kann, da V und U die beiden Zusammenhangskomponenten sind? klappt das so?

Ja. Diese Menge zerfällt dann disjunkt in jeweils den Schnitt mit V bzw. U, was ein Widerspruch zum Zusammenhang ist.

Zitat:
ich versteh nicht ganz was du mit " wobei V das Bild vom Inneren, aber nicht alles davon enthält" meinst, enthält V also eine Teilmenge des Bildes vom Inneren?

Ich habe mich falsch ausgedrückt. Ich meinte, wie du richtig denkst, dass V das Bild enthält und sonst auch noch Punkte.
12345678 Auf diesen Beitrag antworten »

ok, danke, aber was ich dabei nicht verstehe: woher weiß ich denn, dass diese zusammenhängende Menge geschnitten mit U bzw. geschnitten mit V jeweils offen ist? Das muss ich ja auch zeigen, denn sonst ist es ja kein Widerspruch zum Zusammenhang, oder?
rc Auf diesen Beitrag antworten »

U und V sind offen, also ist der Schnitt mit U bzw. V offen in dieser Menge.
12345678 Auf diesen Beitrag antworten »

also bezüglich teilraumtopologie?
rc Auf diesen Beitrag antworten »

Ja.
12345678 Auf diesen Beitrag antworten »

ok, cool, danke!
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