Umkehrfunktion und erste Ableitung eine ln-Funktion

07.05.2013, 11:57

viosophi

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Umkehrfunktion und erste Ableitung eine ln-Funktion

Meine Frage:
ICh habe in der Schule eine Aufgabe bekommen, bei der man folgende Funktion ableiten und umkehren soll: $\begin{eqnarray*} 10*ln(\frac{2x}{\sqrt{3x^2+4} } ) \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich habe nun folgendes raus, bin mir aber nicht sicher ob das stimmt, da wir keine Lösung bekommen haben:
f'(x)= $\begin{eqnarray*} 10*\frac{8}{6x^3+8x} \end{eqnarray*}$
Und für die Umkehrfunktion: $\begin{eqnarray*} 2*\sqrt{e^{\frac{x}{5} }-\frac{4}{3}} \end{eqnarray*}$

07.05.2013, 12:15

HAL 9000

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Die Ableitung stimmt.

Du kannst dir übrigens relativ viel Arbeit ersparen, wenn du die Funktion vor dem Differenzieren gemäß Logarithmenregeln vereinfachst:

$\begin{eqnarray*} f(x) = 10\ln\left( \frac{2x}{\sqrt{3x^2+4}} \right) = 10\left( \ln(2x)-\ln\left( \sqrt{3x^2+4} \right) \right) = 10\ln(2)+10\ln(x)-5\ln\left( 3x^2+4 \right) \end{eqnarray*}$

Schließlich sind Summen und Differenzen erheblich einfacher zu differenzieren als Quotienten inklusive Wurzelausdrücken. Augenzwinkern

Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} f'(x) = \frac{10}{x} - \frac{30x}{3x^2+4} = \frac{40}{x(3x^2+4)} \end{eqnarray*}$

Bei der Umkehrfunktion kann ich nicht zustimmen - zeig doch mal Zwischenrechenschritte.

07.05.2013, 12:42

viosophi

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Okay, also mein erster Schritt war:

$\begin{eqnarray*} e^{\frac{x}{10} } = \frac{2y}{\sqrt{3y^2+4} } \end{eqnarray*}$

dann habe ich das ganze quadriert um die Wurzel aufzulösen. Stimmt das soweit?

07.05.2013, 15:34

HAL 9000

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Keine Einwände. Vor dem Quadrieren sollte man aus der Gleichung

$\begin{eqnarray*} e^{\frac{x}{10}} = \frac{2y}{\sqrt{3y^2+4}} \end{eqnarray*}$

noch die Erkenntnis festhalten, dass $\begin{eqnarray*} y>0 \end{eqnarray*}$ sein muss - wird später wichtig sein.

07.05.2013, 15:53

viosophi

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Ja okay, und dann habe ich die Bürche umgekehrt:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{e^{\frac{x}{5} } } =\frac{3y^2+4}{4y^2} \end{eqnarray*}$
Allerdings war ich mir heirbei nicht sicher obdas richtig ist, und falls ja, ob es überhaupt sinnvoll ist. GEdanke dahinter war, dass ich dann den Bruch teilen kann um ein y zu kürzen:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{e^{\frac{x}{5} } } = \frac{3y^2}{4y^2} +\frac{4}{4y^2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{e^{\frac{x}{5} } } = \frac{3}{4} +\frac{4}{4y^2} \end{eqnarray*}$

07.05.2013, 15:59

viosophi

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Ach und ich muss mich korrigieren, ich habe als ERgebnis:
$\begin{eqnarray*} y=\sqrt{e^{\frac{x}{5} } -\frac{4}{3} } \end{eqnarray*}$

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07.05.2013, 16:18

HAL 9000

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Zitat:

Original von viosophi
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{e^{\frac{x}{5} } } = \frac{3}{4} +\frac{4}{4y^2} \end{eqnarray*}$

Bis hierhin stimmt's. Und danach, wo es spannend wird, präsentierst du plötzlich das falsche Endergebnis. verwirrt

verwirrt

08.05.2013, 07:43

viosophi

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Okay dann die nächsten Zwischenschritte:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{e^{\frac{x}{5} } } = \frac{3}{4} +\frac{1}{y^2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} e^{\frac{x}{5} } = \frac{4}{3} +y^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} e^{\frac{x}{5} }-\frac{4}{3} =y^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y=\sqrt{e^{\frac{x}{5} }-\frac{4}{3}} \end{eqnarray*}$

08.05.2013, 11:12

HAL 9000

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Zitat:

Original von viosophi
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{e^{\frac{x}{5} } } = \frac{3}{4} +\frac{1}{y^2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} e^{\frac{x}{5} } = \frac{4}{3} +y^2 \end{eqnarray*}$

Von $\begin{eqnarray*} a = b+c \end{eqnarray*}$ willst du auf $\begin{eqnarray*} \frac{1}{a} = \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \end{eqnarray*}$ schließen??? Finger2

Finger2

08.05.2013, 11:25

viosophi

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Hast recht, da hatte ich wohl einen Denkfehler verwirrt

verwirrt

Also wenn ich dann das hier
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{e^{\frac{x}{5} } }- \frac{3}{4} =\frac{1}{y^2} \end{eqnarray*}$
mit y^2 multipliziere
$\begin{eqnarray*} \frac{y^2}{e^{\frac{x}{5} } }-\frac{3y^2}{4} = 1 \end{eqnarray*}$
und dann y^2 ausklammere
$\begin{eqnarray*} y^2*(\frac{1}{e^{\frac{x}{5}}}-\frac{3}{4} ) = 1 \end{eqnarray*}$
dann könnte ich doch umformen auf
$\begin{eqnarray*} y^2 = \frac{1}{(\frac{1}{e^{\frac{x}{5}}}-\frac{3}{4} ) } \end{eqnarray*}$
oder bin ich schon wieder auf dem falschen Dampfer?

08.05.2013, 13:51

HAL 9000

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Ja, so - oder gleich den Kehrwert bilden. Und man kann (muss aber nicht) dann auch

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{e^{\frac{x}{5}}} = e^{-\frac{x}{5}} \end{eqnarray*}$

beim Aufschreiben verwenden.

08.05.2013, 13:56

viosophi

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Okay, super danke. D.h. dann also für das Endergebnis:
$\begin{eqnarray*} y=\sqrt{ \frac{1}{e^{\frac{-x}{5} } -\frac{3}{4} }} \end{eqnarray*}$

08.05.2013, 14:38

HAL 9000

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Ja, so stimmt es.

M.E. gehört jetzt noch dazu, dass man den Definitionsbereich dieser Umkehrfunktion genau benennt, denn der ist ja nicht ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ .

08.05.2013, 14:47

viosophi

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$\begin{eqnarray*} \mathbb R = ]-\infty ;-5*ln(\frac{3}{4})[ \end{eqnarray*}$ so?

08.05.2013, 15:20

HAL 9000

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Richtig. Übrigens, beim Wurzelziehen im letzten Schritt konnte man nur wegen

Zitat:

Original von HAL 9000
Vor dem Quadrieren sollte man aus der Gleichung

$\begin{eqnarray*} e^{\frac{x}{10}} = \frac{2y}{\sqrt{3y^2+4}} \end{eqnarray*}$

noch die Erkenntnis festhalten, dass $\begin{eqnarray*} y>0 \end{eqnarray*}$ sein muss - wird später wichtig sein.

die ja auch zunächst denkbare negative Wurzel außer Acht lassen:

Für die abgewandelte Funktion

$\begin{eqnarray*} f_2(x) = 10\cdot \ln\left(-\frac{2x}{\sqrt{3x^2+4}} \right) \end{eqnarray*}$

verläuft die Rechnung für die Umkehrfunktion in weiten Teilen gleich wie oben, nur dass dort am Schluss

$\begin{eqnarray*} f_2^{-1}(x) = -\sqrt{\frac{1}{e^{-\frac{x}{5}}-\frac{3}{4}}} \end{eqnarray*}$

rauskommt. Augenzwinkern

Augenzwinkern

08.05.2013, 15:27

viosophi

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Achja, danke Freude

Freude

, daran hab ich garnicht mehr gedacht!

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