Nicht rektifizierbare Kurve im lR²

07.05.2013, 12:35	hh1234	Auf diesen Beitrag antworten »
Nicht rektifizierbare Kurve im lR² Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray} f: [0,1] \rightarrow \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ definiert durch $\begin{eqnarray} f(t)=\begin{cases} (t,tsin(\pi/t)) : t\in (0,1],\\ (0,0)~~~~~~ : t=0 \end{cases} \end{eqnarray}$ eine Kurve in $\begin{eqnarray} \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ ist, welche jedoch nicht rektifizierbar ist. Ideen: "Rektifizierbar" heißt eine Kurve, wenn die Länge des Polygonzugs $\begin{eqnarray} <\infty \end{eqnarray}$ , wobei die Längendefinition für eine Kurve wie folgt aussieht: $\begin{eqnarray} L(f)= sup \left\{L_f(t_0,...,t_n) \| a=t_0<t_1<...<t_n=b, n\in \mathbb N\right\} \end{eqnarray}$ Erstmal muss ich zeigen, dass das Gebilde überhaupt eine Kurve ist. Die Abbildung muss also stetig sein und meine Definitionsmenge muss ein zulässiges Intervall sein. Letzteres ist der Fall. Bleibt also zu zeigen dass $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ stetig ist. $\begin{eqnarray} (t,tsin(\pi/t)) \end{eqnarray}$ ist als Verkettung stetiger Funktionen stetig. Bleibt also der Übergang zur 0. Ich muss also zeigen $\begin{eqnarray} \lim_{t \to 0} (t,tsin(\pi/t)) = (0,0) \end{eqnarray}$ Für $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ ist das klar. $\begin{eqnarray} \lim_{t \to 0} ,tsin(\pi/t) \end{eqnarray}$ ist ebenfalls $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ , da $\begin{eqnarray} sin(\pi/t) \end{eqnarray}$ nur Werte zwischen $\begin{eqnarray} [-1,1] \end{eqnarray}$ annimmt und $\begin{eqnarray} t \end{eqnarray}$ gegen $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ geht, also der gesamte Ausdruck auch gegen $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ . Soweit richtig? Für den zweiten Teil muss ich ja nun irgendwie eine Zerlegung finden, sodass die Länge der Kurve unendlich groß wird, aber wie?
13.06.2013, 15:29	Till1990	Auf diesen Beitrag antworten »
Versuch dir eine Folge zu überlegen bei der dein sin(Pi/x)=1 ist. Dann kannst du das ganze recht einfach addieren in der Summe.

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