Verschoben! Durchschnittlicher Abstand eines bestimmten Punkte auf Kreislinie zu zufälligen Punkt auf Kreislinie

07.05.2013, 19:56	zahlenschach	Auf diesen Beitrag antworten »
Durchschnittlicher Abstand eines bestimmten Punkte auf Kreislinie zu zufälligen Punkt auf Kreislinie Meine Frage: Ich stelle meine Frage in diesem Rahmen, da mir keiner meiner Mathemathiklehrer weiterhelfen konnte und ich selbst bald verzweifele. Ich hoffe, es gibt jemand, der mir helfen kann, und sei es nur einen Denkfehler zu verbessern. Bei Verständnisfragen bin ich erreichbar über: [*] Edit opi: Verständnisfragen bitte öffentlich im Board diskutieren, dazu ist es da. Ich suche den durchschnittlichen Abstand eines Punktes ("X") auf einer Kreislinie zu einem zufälligen Punkt ("P"), der ebenfalls auf der Kreislinie liegt. Zur Vereinfacherung geht man von einem Kreis mit dem Radius r=1 aus. Anders formuliert: Man stelle sich einen Kreis vor (am besten macht man eine Skizze) und nennt den Punkt, der ganz rechts liegt (es kann auch ein anderer Punkt gewählt werden)´und einen Punkt P, dessen Lage beliebig ist. Dieser Punkt ist durch seinen Winkel [alpha] bestimmbar, er kann zwischen 1° und 360° Grad haben (zur Vereinfachung wird von einem ganzzahligen Winkel ausgegangen). Meine Ideen:** In der Skizze ist ein Punkt P eingezeichnet. Nun muss ich auf die Skizze im Anhang eingehen: Die Position des Punktes P, der definiert ist durch den Winkel [a], kann in eine senkrechte Position s=cos[a] und eine Höhe h=sin[a] zerlegt werden. Die direkte Verbindung d von X nach P ist mit dem Satz des Pythagoras bestimmbar: d=sqrt[Wurzel](((1-s)^2)+(h^2)). Stetz man nun sinus und cosinus für s und h ein und vormuliert das Binomi aus, so erhält man: d=sqrt(1-2cos[a]+cos^2[a]+sin^2[a]), wobei cos^2(x)+sin^2(x) bekanntlich immer gleich 1 ist. Daher ergibt sich: d=sqrt(2-2cos[a]). Nun war meine logische Überlegung, dass es für jeden Punkt P in der rechten Hälfte des Kreises einen Punkt Q in der linken Hälfte des Kreises gibt, der den negativen cosinuswert des Punktes P hat, woraus sich schließen ließe, dass der durchschnittliche cosinus eines Punktes P gleich Null ist. Diese Aussage würde bedeuten, dass d=sqrt(2-2*0)=sqrt(2). Doch wenn ich die Antwort schon kenne, wieso stelle ich dann eine solche Frage? Weil ich mithilfe eines selbstgeschrieben Programms den durchschnittlichen Abstand experimentell bestimmt habe. Das Ergebnis hierbei pendelte sich nach ca. 30000 Rechnungen auf einen Wert von 1,27 ein. Zufällig (?) sehr nah am Wert von 4/[pi]. Zum Programm: Das Programm (ebenfalls im Anhang) definiert zu Beginn EINMALIG die Variablen S und B mit 0, wobei S die Summe aller A ist und B ein Zähler. Der Quotient S/B, der ausgegeben wird, ist also der Aurchschnitt aller A. A wird in dem Programm in der vierten Zeile folgendermaßen definiert (leider nicht vollständig sichtbar) A=abs(1-(1[Winkel]rndInt(1,360))), wobei diese Rechnung auf die komplexen Zahlen in der Gaußschen Zahlenebene beruht: der Punkt ganz rechts im Kreis (X) hat den Abstand 1 von Mittelpunkt und den Winkel 0 zur x-Achse (daher nicht erwähnt); der Punkt P hat ebenfalls den Abstand 1 zum Mittelpunkt, doch sein Winkel ist eine Zufallszahl zwischen 1 und 360 (rndInt([Untergrenze,Obergrenze]) bestimmt eine zufällige Zahl, die größer oder gleich der Untergrenze ist und kleiner oder gleich der Obergrenze). Der Abstand zwischen diesen Punkten ist ihre Differenz, daher das Minuzeichen. Da es keine negativen Abstände gibt (und sich rechnerisch komplexe Abstände ergeben) muss nun noch der Betrag genommen werden (abs(x)=Betrag von x). Wie oben erwähnt, ergibt sich für diese experimentelle Bestimmung ein ungefährer Wert von 1,27. Das dieser Wert zufällig stabil ist und sich noch auf Wurzel 2=1,414 ändert ist nahezu ausgeschlossen. Meine eigentliche Frage lautet demnach: Wo ist hier der Fehler? Ich habe höchstes Vertrauen in die Richtigkeit meines Programms und meines Taschenrechners, kann allerdings auch keinen Fehler in der rechnerischen Lösung finden. Sämtliche Informatikern und Programmierern möchte ich um Nachsicht bei der Wahl dieser ungewöhnlichen Programmierung bitten, das Programm enstandt an einem Taschenrechner (Sharp EL-9900G).
07.05.2013, 22:14	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Offenbar nimmst du den Winkel $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ als gleichverteilt an. Wir können $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ das Intervall $\begin{eqnarray} \Omega = [-\pi,\pi] \end{eqnarray}$ durchlaufen lassen. Für jedes Teilintervall $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} \Omega \end{eqnarray}$ gilt also $\begin{eqnarray} P(A) = \frac{1}{2 \pi} \cdot \|A\| \end{eqnarray}$ wobei die senkrechten Striche die Länge von $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ bezeichnen mögen. Der Abstand $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ eines Punktes $\begin{eqnarray} (\cos \alpha, \sin \alpha) \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} (1,0) \end{eqnarray}$ ist eine Zufallsgröße. Die Werte von $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ liegen im Intervall $\begin{eqnarray} [0,2] \end{eqnarray}$ . Du hast richtig gerechnet: $\begin{eqnarray} X(\alpha) = \sqrt{2 - 2 \cos \alpha} \end{eqnarray}$ . Die Verteilungsfunktion $\begin{eqnarray} F \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} F(x) = P(X \leq x) \, , \ 0 \leq x \leq 2 \end{eqnarray}$ Wenn man $\begin{eqnarray} X(\alpha) \leq x \end{eqnarray}$ äquivalent umformt, erhält man $\begin{eqnarray} - \arccos \left( 1 - \frac{x^2}{2} \right) \leq \alpha \leq \arccos \left( 1 - \frac{x^2}{2} \right) \end{eqnarray}$ . Das Ereignis $\begin{eqnarray} A = \{ X \leq x \} \end{eqnarray}$ ist also ein Intervall der Länge $\begin{eqnarray} \|A\| = 2 \arccos \left( 1 - \frac{x^2}{2} \right) \end{eqnarray}$ . Somit gilt $\begin{eqnarray} F(x) = \frac{1}{\pi} \arccos \left( 1 - \frac{x^2}{2} \right) \, , \ \ 0 \leq x \leq 2 \end{eqnarray}$ Durch Differenzieren bekommt man die Dichte von $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} f(x) = F'(x) = \frac{2}{\pi} \cdot \frac{1}{\sqrt{4 - x^2}} \, , \ 0 \leq x < 2 \end{eqnarray}$ Du suchst nun den Erwartungswert $\begin{eqnarray} \mu \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} \mu = \int_0^2 x \cdot f(x) ~ \dd x = \int_0^2 x \cdot \frac{2}{\pi} \cdot \frac{1}{\sqrt{4 - x^2}} ~ \dd x \end{eqnarray}$ Die Berechnung des Integrals liefert $\begin{eqnarray} \mu = \frac{4}{\pi} \end{eqnarray}$ , ganz wie du vermutet hast. Hinweis an einen Moderator: Dieses Thema paßt eher in die Wahrscheinlichkeitsrechnung der Hochschule. Edit opi: Dein Wunsch ist mir Befehl.
02.06.2013, 00:06	Zahlen-Schach	Auf diesen Beitrag antworten »
Klasse, vielen Dank für die Antwort, auch wenn ich nicht mehr als die Hälfte verstehe Weißt du (oder auch jemand anders) auch, wo der Fehler in meiner Vorüberlegung war? Also dass man das Ganze über Satz des Phytagoras, Binomi usw. auflösen kann und $\begin{eqnarray} \sqrt{2} \end{eqnarray}$ als Ergebnis erhält?
02.06.2013, 09:47	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Cosinuswerte gleichen sich aus. Aber da gibt es noch etwas dazu: $\begin{eqnarray} X(\alpha) \end{eqnarray}$ , bei dir heißt das $\begin{eqnarray} d \end{eqnarray}$ , ist ja kein proportionaler Ausdruck in $\begin{eqnarray} \cos \alpha \end{eqnarray}$ , sondern ein Wurzelausdruck: $\begin{eqnarray} X(\alpha) = \sqrt{2 - 2 \cos \alpha} \end{eqnarray}$ Betrachten wir für $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ die Intervalle $\begin{eqnarray} I = \left[ 0 \, , \, \frac{\pi}{4} \right] \, , \ \ I' = \left[ \frac{3}{4} \pi \, , \, \pi \right] \end{eqnarray}$ Das sind Partnerintervalle mit Cosinuswerten, die sich nur im Vorzeichen unterscheiden. Wenn nun $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ das Intervall $\begin{eqnarray} I \end{eqnarray}$ durchläuft, durchläuft $\begin{eqnarray} X(\alpha) \end{eqnarray}$ die Werte von $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ bis $\begin{eqnarray} \sqrt{2 - \sqrt{2}} \end{eqnarray}$ , das ist ein Intervall der Länge $\begin{eqnarray} 0{,}77 \end{eqnarray}$ . Wenn dagegen $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ das Intervall $\begin{eqnarray} I' \end{eqnarray}$ durchläuft, durchläuft $\begin{eqnarray} X(\alpha) \end{eqnarray}$ die Werte von $\begin{eqnarray} \sqrt{2 + \sqrt{2}} \end{eqnarray}$ bis $\begin{eqnarray} 2 \end{eqnarray}$ , das ist ein Intervall der Länge $\begin{eqnarray} 0{,}15 \end{eqnarray}$ . Da die Intervalle $\begin{eqnarray} I \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} I' \end{eqnarray}$ gleichlang sind, sind die Wahrscheinlichkeiten gleich. Für $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ wird also, um von $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} 0{,}77 \end{eqnarray}$ anzusteigen, genau so viel Wahrscheinlichkeit verbraucht, wie um von $\begin{eqnarray} 1{,}85 \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} 2 \end{eqnarray}$ anzusteigen (nämlich jeweils $\begin{eqnarray} 12,5 % \end{eqnarray}$ ). Wenn wir statt $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ "Bergwanderung" und statt $\begin{eqnarray} P \end{eqnarray}$ "Energieverbrauch" sagen, dann braucht man für ein langes Anfangsstück der Wanderung genau so viel Energie wie für die letzten paar Meter vor dem Gipfel. Ein aus dem Alltag durchaus bekanntes Phänomen ...

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