Frage zur Approximierung der Binomialverteilung

07.05.2013, 21:47

Tipso

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Frage zur Approximierung der Binomialverteilung

Hallo,

Ich habe in diesem Bereich noch Probleme.
Auch bei der Unterscheidung von dieser zur allgemeinen Normalverteilung.

Ein willkürliches Beispiel:

Treffen des Tores vom Elfmeterpunktes.
Trefferwahrscheinlichkeit = (1/3)

c.
Die Aufgabe sei Binomialverteilt.
Bei 1500 Versuchen zwischen 200 und 350 mal zu treffen.

Erwartungswert = $\begin{eqnarray*} 1500*\frac{1}{3} = 333\frac{1}{3} \end{eqnarray*}$

Varianz = $\begin{eqnarray*} \sqrt{1500*\frac{1}{3} } \frac{2}{3}= 222,22 \end{eqnarray*}$

Schreiben würden wir dies mit:

$\begin{eqnarray*} P(200<x<350) = P(200,5<x<349,5) \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} P(201,5\leq x\leq 348,5) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z_1 = \frac{200,5 -333,33}{222,22} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z_2 = \frac{349,5 -333,33}{222,22} \end{eqnarray*}$

Jetzt verstehe ich aber nicht, warum dies falsch ist.
Es heißt deshalb:

$\begin{eqnarray*} P(X\geq k)=1-P(X\leq k-1) \end{eqnarray*}$
verwirrt

verwirrt

verwirrt

verwirrt

Dann ist hier noch eine letzte Frage offen, bei einer an sich normalverteilten Aufgabe ist dies nicht relevant. verwirrt

verwirrt

lg

07.05.2013, 22:09

Dopap

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$\begin{eqnarray*} \mu= 1500\cdot \frac 1 3 = 500 \end{eqnarray*}$

wieso 333.33 ?

$\begin{eqnarray*} \sigma = \sqrt{1500\cdot \frac 13 \cdot \frac 23}=18.257 \end{eqnarray*}$

ist dein TR kaputt verwirrt

verwirrt

07.05.2013, 22:20

Tipso

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War wohl ein Tippfehler in den Taschenrechner, habe anscheinend mit n = 1000 gerechnet.

Ich liefere sofort Varianz nach.

Mein größeres Problem ist die richtige Einstellung der Stetigkeitskorrektur und die Umrechnung auf den - z-Wert.

$\begin{eqnarray*} P(X\geq k)=1-P(X\leq k-1) \end{eqnarray*}$

lg

07.05.2013, 22:33

Dopap

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ich mach mal nen Vorschlag: 200 bis 350 Tore ist exotisch wenig.

sagen wir mal 470 bis 510 Tore.

1.) ohne Stetigkeitskorrektur:

$\begin{eqnarray*} p( 470 < x < 510) \end{eqnarray*}$ das rechnen wir mit \leq um:

$\begin{eqnarray*} p( 471 \leq x \leq 509) \end{eqnarray*}$ und das ist :

$\begin{eqnarray*} p(x\leq 509) - p( x \leq 470) \end{eqnarray*}$

waum genau so? und nicht anderst ? Antwort: die standardisierte Normalverteilung erfordert genau diese Schreibweise. Alles was du rumrechnest musst du letztendlich in diese Schreibform bringen.

07.05.2013, 22:45

Tipso

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Dann will ich dies ausrechnen.

$\begin{eqnarray*} z_1 = \frac{x-\mu }{\sigma } =\frac{509-1500 }{333,33 }=-2,97 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z_2 = \frac{x-\mu }{\sigma } = \frac{479-1500 }{333,33 }=-3,06 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \mu=500 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sigma=333,33 \end{eqnarray*}$

07.05.2013, 22:48

Dopap

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ziemlicher Käse ! nur schnell hingeschrieben,

war nicht $\begin{eqnarray*} \mu =500 \quad \text {und} \quad \sigma = 18.257 \end{eqnarray*}$ ???

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07.05.2013, 22:53

Tipso

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unglücklich

Wurzel vergessen.

$\begin{eqnarray*} z_1 = \frac{x-\mu }{\sigma } =\frac{509-1500 }{18,257 }=-54,28 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z_2 = \frac{x-\mu }{\sigma } = \frac{479-1500 }{18,257 }=-55,92 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \mu=500 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sigma=18,257 \end{eqnarray*}$

07.05.2013, 22:57

Dopap

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und warum ist $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ immer noch 1500 ?

07.05.2013, 23:06

Tipso

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geschockt

$\begin{eqnarray*} z_1 = \frac{x-\mu }{\sigma } =\frac{509,5-500 }{18,257 }=0,52 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z_2 = \frac{x-\mu }{\sigma } = \frac{479,5-500 }{18,257 }=-1,1228 \end{eqnarray*}$

07.05.2013, 23:23

Dopap

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$\begin{eqnarray*} z_2 = \frac{x-\mu }{\sigma } = \frac{4{\color{red}6}9,5-500 }{18,257 }=.... \end{eqnarray*}$

so müsste es stimmen.

07.05.2013, 23:38

Tipso

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hmm,

Ohne Stetigkeitskorrektur wäre es 470. verwirrt

verwirrt

$\begin{eqnarray*} z_1 = \frac{x-\mu }{\sigma } =\frac{509,5-500 }{18,257 }=0,52 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z_2 = \frac{x-\mu }{\sigma } = \frac{469,5-500 }{18,257 }=-1,1228 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} p(x\leq 509) - p( x \leq 470) =p(z\leq 509,5- p( z \leq 469,5) = \phi(0,52) <br /> - \phi(-1,1228) = 0,70884-(1-0,86650)= 0,57534= 57,5 % \end{eqnarray*}$

habe hier die z-Werte auf 0,52 bzw. 1,12 abgerundet.

----------------------------------------------------------------

b.
$\begin{eqnarray*} P(x>455) \end{eqnarray*}$

08.05.2013, 00:01

Dopap

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$\begin{eqnarray*} p(x\leq 509) - p( x \leq 470) =p(z\leq 509,5- p( z \leq 469,5) = \phi(0,52) <br /> - \phi(-1,1228) = 0,70884-(1-0,86650)= 0,57534= 57,5 % \end{eqnarray*}$

ja, so funktioniert das.
-----------------------------------------------------------------
$\begin{eqnarray*} P(x>455) \end{eqnarray*}$

du brauchst ja wieder die \leq Bedingung über das Gegenereignis:

$\begin{eqnarray*} P(x>455)= 1-p(x\leq 455) \end{eqnarray*}$

gut , da könnte man tricksen vor allem wenn z negativ ist, kann ich aber nicht emmpfehlen.
Geh da immer den bekannten Weg , sonst besteht die Gefahr sich selber Auszutricksen.

08.05.2013, 00:14

Tipso

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$\begin{eqnarray*} P(x>455)= 1-p(x\leq 455) =1-p(z\leq 455) \end{eqnarray*}$

kann nicht glauben, dass es stimmt, da ich es in einem anderen Thread anders gemacht habe. Dort hieß es, es geht nach dieser Formel.

$\begin{eqnarray*} P(X\geq k)=1-P(X\leq k-1) \end{eqnarray*}$

Nach dieser Formel würden wir ja:

$\begin{eqnarray*} P(x>455)= 1-p(x\leq 454) \end{eqnarray*}$
rechnen. verwirrt

verwirrt

-------------------------------------
Fertig gerechnet:

$\begin{eqnarray*} z = \frac{x-\mu }{\sigma } =\frac{455,5-500 }{18,257 }=-2,4374 \end{eqnarray*}$

Bei der Notation bin ich mir hier nicht sicher:
$\begin{eqnarray*} P(x>455)=1 - P(z\leq-2,4374)= 1-(1-0,99266) = 0,99266 = 99,3 % \end{eqnarray*}$

Aufgerundet auf -2,44
b.
Die Aufgabe sei an sich Normalverteilt.
Bei 1500 Versuchen - zwischen 470 und 570 mal zu treffen.

Bei dieser Aufgabenform müsste Erwartungswert und Standartabweichung angegeben sein, nehme ich an. verwirrt

verwirrt

08.05.2013, 00:41

Dopap

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Zitat:

Original von Tipso
$\begin{eqnarray*} P(x>455)= 1-p(x\leq 455) =1-p(z\leq 455) \end{eqnarray*}$

kann nicht glauben, dass es stimmt, da ich es in einem anderen Thread anders gemacht habe. Dort hieß es, es geht nach dieser Formel.

$\begin{eqnarray*} P(X\geq k)=1-P(X\leq k-1) \end{eqnarray*}$

1.) möglichst wenige Formeln lernen.

2.) wo ist da der Widerspruch ?? achte mal auf $\begin{eqnarray*} > \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$

ja, $\begin{eqnarray*} \mu , \sigma \end{eqnarray*}$ sind doch die alten Werte oder ?

08.05.2013, 01:11

Tipso

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1.

Verstehe ich nicht ganz, wie du es meinst.

2.

passt.

Beispiele:

$\begin{eqnarray*} P(x>455)= P(x \geq 456) = 1-p(x\leq 455) \end{eqnarray*}$

Ein weiteres Beispiel um dies zu verfestigen.

$\begin{eqnarray*} P(x<455) = P(x\leq 444) = 1-P(x\geq 455) \end{eqnarray*}$

3.
$\begin{eqnarray*} \mu , \sigma \end{eqnarray*}$ , ja müssen wir wohl von der vorherigen Aufgabe übernehmen, jetzt würde mich schon interessieren, wo der Unterschied zu an sich normalverteilten Aufgaben besteht.

08.05.2013, 01:26

Dopap

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Zitat:

Original von Tipso
Beispiele:

$\begin{eqnarray*} P(x>455)= P(x \geq 456) = 1-p(x\leq 455) \end{eqnarray*}$

so ist es richtig.

Zitat:

Ein weiteres Beispiel um dies zu verfestigen.

$\begin{eqnarray*} P(x<455) = P(x\leq 444) = \color{blue} 1-P(x\geq 455) \end{eqnarray*}$

stimmt auch , aber warum sollte man den letzten Schritt gehen, der führt doch nicht Zur Standardnormalverteilung. Theoretisch aber korrekt.

ansonsten weiss ich nicht mehr in welcher Aufgabe wir gerade sind. verwirrt

verwirrt

08.05.2013, 01:36

Tipso

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} P(x<455) = P(x\leq 444) = \color{blue} 1-P(x\geq 455) \end{eqnarray*}$

stimmt

verwirrt

Dieser Wert ließe sich nicht ablesen, also ist es falsch.

Letzte Aufgabe zu diesem Thread ist:

Die Aufgabe sei an sich Normalverteilt.
Bei 1500 Versuchen - zwischen 470 und 570 mal zu treffen.
$\begin{eqnarray*} \mu , \sigma \end{eqnarray*}$ sind dieselben.

Nur um den Unterschied zu Binomial - Approximierung zu sehen.

P(470 <x <570) = P(471 \leq x \leq 569)

$\begin{eqnarray*} z_1 = \frac{x-\mu }{\sigma } =\frac{471-500 }{18,257 } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z_2 = \frac{x-\mu }{\sigma } =\frac{569-500 }{18,257 } \end{eqnarray*}$

stimmt dies soweit?

lg

08.05.2013, 01:59

Dopap

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$\begin{eqnarray*} P(470 <x <570) = P(471 \leq x \leq 569) \quad \checkmark \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z_1 = \frac{x-\mu }{\sigma } =\frac{47{\color{red}0}-500 }{18,257 } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z_2 = \frac{x-\mu }{\sigma } =\frac{569-500 }{18,257 } \end{eqnarray*}$

08.05.2013, 02:10

Tipso

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hmm

$\begin{eqnarray*} P(470 <x <570) = P(471 \leq x \leq 569) \quad \checkmark \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z_1 = \frac{x-\mu }{\sigma } =\frac{47{\color{red}0}-500 }{18,257 }= -1,64 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z_2 = \frac{x-\mu }{\sigma } =\frac{569-500 }{18,257 }=3,78 \end{eqnarray*}$

Begründung für:

$\begin{eqnarray*} P(471 \leq x) = 1 - P(x<470) = 1 - P(x\leq469) \end{eqnarray*}$
Warum nicht 469 einsetzen?

Hier habe ich dazu noch eine Frage:

Zitat:

Ich setze aber in die Formel von z einfach 470 ein, obwohl es doch 1 - 470 sein müsste da ich 1 - dieser Fläche rechne, warum mache ich dies einfach?

Ich glaube, ich kann mir diese Frage selber beantworten. smile

smile

In der Standartnormalverteilung kann ich nur bis zu einer Stelle nachsehen, nicht von einer Stelle weg.
Dies erklärt aber noch nicht, was mit (1-) passiert.

Edit:
Danke für deine Hilfe. Freude

Freude

Erholsamen Schlaf wünsche ich. smile

smile

Wink

08.05.2013, 20:36

Tipso

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Begründung für:

$\begin{eqnarray*} P(471 \leq x) = 1 - P(x<470) = 1 - P(x\leq469) \end{eqnarray*}$
Warum nicht 469 einsetzen?

Hier habe ich dazu noch eine Frage:

Zitat:

Ich setze aber in die Formel von z einfach 470 ein, obwohl es doch 1 - 470 sein müsste da ich 1 - dieser Fläche rechne, warum mache ich dies einfach?

Ich glaube, ich kann mir diese Frage selber beantworten. smile

smile

In der Standartnormalverteilung kann ich nur bis zu einer Stelle nachsehen, nicht von einer Stelle weg.
Dies erklärt aber noch nicht, was mit (1-) passiert.

siehe hier.
$\begin{eqnarray*} z_1 = \frac{x-\mu }{\sigma } =\frac{47{\color{red}0}-500 }{18,257 }= -1,64 \end{eqnarray*}$

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