Folgenräume und Konvergenz

07.05.2013, 22:30

Sojabohne

Folgenräume und Konvergenz

Ich will zeigen dass der Folgenraum

$\begin{eqnarray*} \Im ^p \neq \Im ^q \end{eqnarray*}$

ist.

Die Norm ist wie folgt definiert $\begin{eqnarray*} ||\Im ^p||:=(\sum\limits_{k=1}^\infty |x_i|^p)^\frac{^1}{p} \end{eqnarray*}$

und es gilt $\begin{eqnarray*} 1\leq p < q < \infty \end{eqnarray*}$

Nun wollte ich das ganze zeigen, indem ich mir eine Folge nehme, und zeige $\begin{eqnarray*} \Im ^p \end{eqnarray*}$ konvergiert, und $\begin{eqnarray*} \Im ^q \end{eqnarray*}$ .

Das sollte doch ausreichen oder ?

Nur irgendwie hab ich noch keine passende folge gefunden :|

07.05.2013, 23:21

chris95

Auf diesen Beitrag antworten »

Hi Sojabohne,

denk daran, dass:

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^\infty \frac{1}{i^{1+\alpha}} \end{eqnarray*}$ fuer jedes $\begin{eqnarray*} \alpha > 0 \end{eqnarray*}$ konvergiert, aber $\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^\infty \frac{1}{i} \end{eqnarray*}$ divergiert.

Du bringst auch etwas die Notation durcheinander. Zunaechst summierst du ueber k, indizierst deine Folgegleider aber mit i. Ausserdem wirkt die Norm nicht auf den Raum, sondern auf ein Element des Raums.

Ich denke ihr habt den Raum so definiert, dass die Norm endlich ist, oder?

Gruss, chrs

07.05.2013, 23:32

Sojabohne

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Ich denke ihr habt den Raum so definiert, dass die Norm endlich ist, oder?

Jup das haben wir.

Vielen dank schonmal

07.05.2013, 23:33

chris95

Auf diesen Beitrag antworten »

Kannst du dann mit meinen Tipp etwas anfangen?

07.05.2013, 23:52

Sojabohne

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich denke.

Ich müsste theor. nur eine Folge nehmen, sodass

$\begin{eqnarray*} \Im ^q = \sum_{i=1}^\infty \frac{1}{i^{q}} \end{eqnarray*}$

gilt.

Das wäre ja der fall, wenn ich

mir eine folge

$\begin{eqnarray*} (x_i)_{i\in \mathbb N }:= \frac{1}{n^{\frac{1}{q} } } \end{eqnarray*}$

nehmen würde. Da q>1 konvergiert

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^\infty \frac{1}{n^{\frac{1}{q} } } \end{eqnarray*}$ die folge und ist somit ein element von $\begin{eqnarray*} \Im ^q \end{eqnarray*}$

Für $\begin{eqnarray*} \Im ^p \end{eqnarray*}$ gilt dann:

$\begin{eqnarray*} (\sum_{i=1}^\infty \frac{1}{n^{\frac{p}{q} } })^{\frac{1}{p} } \end{eqnarray*}$

Wegen $\begin{eqnarray*} 1\leq p < q < \infty \end{eqnarray*}$

wäre dann ja [latex]1\leq \frac{p}{q} < 1, also wäre die Reihe divergent ?

Aber irgewas scheint mir daran noch nicht so ganz zu stimmen verwirrt

07.05.2013, 23:59

chris95

Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt divergieren ja beide Folgen.

Fuer $\begin{eqnarray*} 1\leq p < q < \infty \end{eqnarray*}$ gibt es ein $\begin{eqnarray*} \alpha > 0 \end{eqnarray*}$ sodass $\begin{eqnarray*} p + \alpha = q \end{eqnarray*}$

Nun nimmst du einfach die Folge:

$\begin{eqnarray*} a := (a_n)_n : a_n = \frac{1}{n^{\frac{1}{ p} }} \end{eqnarray*}$

Was ist dann:

$\begin{eqnarray*} \parallel a \parallel_p \end{eqnarray*}$

und was ergibt:

$\begin{eqnarray*} \parallel a \parallel_q \end{eqnarray*}$ ?

In welchem Raum liegt somit die Folge?

08.05.2013, 00:11

Sojabohne

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} (\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{(n^{\frac{1}{p})^p } })^{\frac{1}{p} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^{\frac{1}{p}}} \end{eqnarray*}$

Da $\begin{eqnarray*} \frac{1}{p} \le 1 \end{eqnarray*}$ divergiert die Reihe, die folge $\begin{eqnarray*} (a_n)_n \end{eqnarray*}$ ist also kein element von $\begin{eqnarray*} \Im ^p \end{eqnarray*}$

Für $\begin{eqnarray*} \parallel a \parallel_q \end{eqnarray*}$ ergibt sich:

$\begin{eqnarray*} =(\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{(n^{\frac{1}{p}})^q})^\frac{1}{q} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =(\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{(n^{\frac{q}{p}})})^\frac{1}{q} \end{eqnarray*}$

und $\begin{eqnarray*} \frac{q}{p}>1 \end{eqnarray*}$ konvergiert die folge ist also ein element von $\begin{eqnarray*} \Im ^q \end{eqnarray*}$

08.05.2013, 00:45

Sojabohne

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab da noch einen fehler drin, aber das richtige ergebnis.

Potenzgesetze sollte man können Big Laugh

08.05.2013, 09:08

chris95

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Sojabohne
$\begin{eqnarray*} (\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{(n^{\frac{1}{p})^p } })^{\frac{1}{p} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^{\frac{1}{p}}} \end{eqnarray*}$

Genau, hier ist der Fehler, das stimmt natuerlich nicht.

Es sollte da stehen:

$\begin{eqnarray*} (\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{(n^{\frac{1}{p})^p } })^{\frac{1}{p} }= \left(\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}\right)^{\frac 1 p } \rightarrow \infty \end{eqnarray*}$

Sonst passts.

Neue Frage »

Antworten »

Folgenräume und Konvergenz

Verwandte Themen