Multiplikation mit Abschluss vertauschen

07.05.2013, 22:54	mathinitus	Auf diesen Beitrag antworten »
Multiplikation mit Abschluss vertauschen Hallo Leute, ich komme hier nicht weiter: Ich soll zeigen, dass $\begin{eqnarray} \overline{A}\cdot \overline{B} \subseteq \overline{A\cdot B} \end{eqnarray}$ ist, wobei A und B beliebige Teilmengen einer topologischen Gruppe sind. Wie zeigt man das geschickt? Danke für eure Hilfe!
09.05.2013, 20:04	Quadratzahl-Jan	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi du kannst für $\begin{eqnarray} b\in \overline{B} \end{eqnarray}$ zeigen, dass $\begin{eqnarray} \overline{A}\cdot b\subseteq\overline{A\cdot B} \end{eqnarray}$ ist, indem du nutzt, dass für eine Teilmenge $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ gilt: $\begin{eqnarray} \overline{X}=\underset{B\in U}{\cap}X\cdot B \end{eqnarray}$ , Wobei $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ eine Umgebungsbasis des Neutralelementes ist.
12.06.2013, 17:13	mathinitus	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, damit hatte ich auch schon vorher etwas rumgespielt, bin aber nicht weiter gekommen. Ich kann zum Beispiel $\begin{eqnarray} \overline{A}\cdot b \end{eqnarray}$ als $\begin{eqnarray} \bigcap_{U\in\mathfrak U} A Ub \end{eqnarray}$ schreiben oder $\begin{eqnarray} \overline{AB}=\bigcap_{U\in\mathfrak U} ABU \end{eqnarray}$ . Aber wie mir das die gewünschte Inklusion liefert, sehe ich noch nicht.
12.06.2013, 17:49	mathinitus	Auf diesen Beitrag antworten »
Man könnte auch so vorgehen: $\begin{eqnarray} \overline{A} \overline{B}=(\bigcap UA )( \bigcap BU ) \subseteq \bigcap UABU \end{eqnarray}$ Nun müsste man noch $\begin{eqnarray} \bigcap UXU = \overline{X} \end{eqnarray}$ zeigen und man wäre fertig. Nur wie das schön geht, sehe ich nicht auf Anhieb. Zur Not müsste man halt vorgehen wie bei dem Beweis von $\begin{eqnarray} \bigcap XU = \overline{X} \end{eqnarray}$ .
13.06.2013, 03:17	Quadratzahl-Jan	Auf diesen Beitrag antworten »
Weiß mittlerweile nicht mehr, was ich mir dabei genau gedacht habe. Es gilt ja $\begin{eqnarray} \overline{AB}=\bigcap_{U\in\mathfrak U} \overline{ABU}=\bigcap_{U\in\mathfrak U} \left(\bigcap_{V\in\mathfrak U}VABU\right) \end{eqnarray}$ . Nutze noch, dass $\begin{eqnarray} \overline{A} = \bigcap_{U\in\mathfrak U}UA \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \overline{B} = \bigcap_{U\in\mathfrak U}BU \end{eqnarray}$ ist.
10.08.2013, 18:04	mathinitus	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich glaube, ich habe es nun (nach dreimonatiger intensiver Arbeit) raus. Sei G die topologische Gruppe, über die wir sprechen, und $\begin{eqnarray} m:G\times G\to G \end{eqnarray}$ die Multiplikationsabbildung in der Gruppe. Diese ist stetig, weil G topologische Gruppe ist. Also ist $\begin{eqnarray} C:=m^{-1}(\overline{AB}) \end{eqnarray}$ abgeschlossen. Außerdem ist $\begin{eqnarray} A\times B \subseteq C \end{eqnarray}$ . Wenn wir nun noch zeigen, dass $\begin{eqnarray} \overline A \times \overline B \subseteq \overline{A\times B} \end{eqnarray}$ , sind wir fertig. Das ist aber nicht so schwierig, ich konnte sogar $\begin{eqnarray} \overline A \times \overline B = \overline{A\times B} \end{eqnarray}$ zeigen.
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