Vektoren - Umschreibung von Gleichung

08.05.2013, 12:03

Tipso

Vektoren - Umschreibung von Gleichung

Hallo,

Zitat:

Eine Person A kauft 3 Stück eines Produktes P_1, 10 Stück eines Produktes P_2 und 2 Stück eines Produktes P_3 und bezahlt dafür 49 Euro.
Eine Person B bezahlt 21 Euro beim Kauf von 1 Stück von Produktes P_1, 4 Stück von Produktes P_2 und 2 Stück von Produktes P_3.

Zitat:

Übersetzen Sie die Aufgabe in Gleichungs- bzw. Vektorschreibwiese.

Gleichung ist schnell aufgestellt.
$\begin{eqnarray*} A : 3x + 10 y + 2z = 49 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} B : x+ 4y + 2z = 21 \end{eqnarray*}$

A: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 \\ 10 \\ 2 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = 49 \end{eqnarray*}$

B: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} *\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = 21 \end{eqnarray*}$

b.

Zitat:

Welche geometrische Bedeutung haben die in der Aufgabe vorkommenden Begriffe?

Hier fangen meine Schwierigkeiten an!

Liste:

Zitat:

Ebene = Begriff

1.
Punkt der Ebene mal der Normalvektor = Preis
2.
Schnittgerade der Ebenen - Vergleich der Preise?
3.
Ebene = kaufvorgang
4.
Variablen? (x,y,z) = Produkte
5.
Ähnlichkeit der kaufvorgänge = Lage der beiden Ebenen zueinander
6.
Was ist der Preisvektor?
7.
Das skalare Produkt ist der Gesamtpreis? Von was?
8.
Andernfalls bezeichnet die Schnittgerade jene Punkte, für die beide Käufe (A UND B) zutreffend sind. - Was ist damit gemeint? verwirrt

Offen ist auch noch:
a.
Vektorprodukt meiner Normalvektoren = ?
b.
Das skalare Produkt des Mengenvektors (--> Stückzahlen) mit dem Preisvektor (x; y; z) ist der Gesamtpreis. ??
Ist meine Liste Vollständig?

lg

09.05.2013, 03:57

Tipso

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Das Interesse daran scheint überwältigend. Big Laugh

a.
Ich hätte, wenn jemand Interesse hat auch sehr gerne darüber diskutiert, welche Veränderungen sich geographisch ergeben, wenn eine koordinate 0 ist.

Also z. B

3x + 4y = 15

bei einer von beiden Ebenen oder auch bei beiden Ebenen.

b.
Was mir die Schnittgerade (welche unendlich lang ist) genau sagt?
Sie sagt mir ja nicht den Preis, welcher bei beiden Gleich ist oder?
Ansonsten wäre sie ja nicht unendlich lang.
Sie sagt mir das Verhältnis, der Preise von beiden Einkäufen. verwirrt

09.05.2013, 05:27

Dopap

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RE: Vektoren - Umschreibung von Gleichung

Zitat:

Original von Tipso
Hallo,

Zitat:

Übersetzen Sie die Aufgabe in Gleichungs- bzw. Vektorschreibwiese.

soweit noch in Ordnung!

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 \\ 10 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ist ein Mengenvektor, $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ist der Stückpreisvektor

Geometrisch Ebenen im Stückpreisraum x-y-z. Der Mengenvektor ist der Normalenvektor der Ebene.
Jeder Punkt im positiven Oktanten ist eine mögliche Preis-Lösung für diesen Einkauf = 49
dasselbe gilt für den 2.ten Einkauf = 21

Eine Schnittgerade (besser: mögliche Strecke ) im positiven Oktanten ist die Menge aller Preis-Punkte, die beiden Einkäufen genügt.

Wenn z.b. z=0 gilt, dann ist das dritte Gut kostenlos. Das geht aber nur, wenn das für beide Einkäufer gleichzeitig gilt. Und damit ist dann die Grenze der Fragerei erreicht. Kein Wunder, dass ich mal wieder der einzig Antwortende bin unglücklich

andere Fragen wie: das skalare Produkt ist der Gesamtpreis. Von was ? sind sehr komisch! Ich würde sagen : "der Gesamtpreis des Einkaufs" Big Laugh

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erst mit einem dritten Einkauf würde die Sache in der Praxis Sinn machen.

Man könnte dann schlichtweg fragen, wie gross die Einzelpreise sind.
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Wer hat sich denn eigentlich diese Beschäftigungstherapie ausgedacht ?

09.05.2013, 06:09

Tipso

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Ich finde dieses Thema echt sehr interessant und würde gerne bei frischem Geist daran arbeiten.

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ = Was von meiner Ebene?

Ist doch eine Art Variablenvektor.

Zitat:

Wenn z.b. z=0 gilt, dann ist das dritte Gut kostenlos. Das geht aber nur, wenn das für beide Einkäufer gleichzeitig gilt. Und damit ist dann die Grenze der Fragerei erreicht. Kein Wunder, dass ich mal wieder der einzig Antwortende bin

Ich habe mich hier glaube ich falsch ausgedrückt bzw. es ist interpretierbar.
Wenn er von Produkt 3 keines kauft ist diese auch 0.

Ich finde es gut, dass du mir antwortest. Freude

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Zitat:

Man könnte dann schlichtweg fragen, wie gross die Einzelpreise sind.

Müsste auch bei 2 gehen, dann ist eben einer zb. z = 0.
Ich habe eine Form dieser Aufgabe erhalten.

-----------------------------------

Die Preise an sich sind nicht feststellbar, nur Vehältnisse bzw. eine Ober und Untergrenze von Preisen.

Dieses Thema ist imo sehr interessant und ich werde mich Morgen auf jeden Fall mit Fragen bzw. Antworten melden.
Freude

Zitat:

Wer hat sich denn eigentlich diese Beschäftigungstherapie ausgedacht ?

Ich weiß nicht wie du dies meinst bzw. wie ernst. smile

09.05.2013, 09:31

Dopap

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Zitat:

Ich habe mich hier glaube ich falsch ausgedrückt bzw. es ist interpretierbar.
Wenn er von Produkt 3 keines kauft ist diese auch 0.

das geht nicht ! die Einkaufsmengen sind nicht variabel, sondern die Stückpreise.
Das ist ziemlich ungewohnt und weltfremd, aber so steht es in der Aufgabe.

--------------------------
wenn wir das System :

$\begin{eqnarray*} I) 3x + 10 y + 2z = 49<br /> II) x+ 4y + 2z = 21 \end{eqnarray*}$
lösen erhalten wir:

$\begin{eqnarray*} x=6z-7<br /> y=-2z+7 \end{eqnarray*}$
und setzen nun x>0 und y>0 voraus (positive Preise ), dann erhalten wir:

$\begin{eqnarray*} z>\tfrac 76 ~ \text{und} ~ z<\tfrac 72 \end{eqnarray*}$ oder als Intervall $\begin{eqnarray*} \tfrac 76 <z<\tfrac 72 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} 1.17 < z < 3.5 \end{eqnarray*}$

Nur wenn z das erfüllt, gibt es mögliche positive Preise x , y

Vektoriell:

Preisvektor $\begin{eqnarray*} \vec x = \mu \begin{pmatrix} 6 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -7 \\ 7 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \mu \in (1.17, 3.3) \end{eqnarray*}$

Das ist eine offene Strecke im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ die Achsen bedeuten Stückpreise.

Die Endpunkte der Strecke sind $\begin{eqnarray*} A(0.02,4.66,1.17)~~ B(14,0,3.5) \end{eqnarray*}$

kommt das deinen Vorstellungen näher ?

09.05.2013, 21:37

Tipso

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hi,

Es gibt keinen Unterschied zwischen der Gleichungsschreibweise und der Ebene in koordinatenform. Also ist die Gleichungsschreibweise doch genauso eine Vektorielle Schreibweise. Auch die normalenform, wie wir es gemacht haben ist es natürlich.

Ich versuche die Aufgabenstellung b. genau und vollständig zu beantworten, vielleicht gelingt mir dies diesmal, ohne etwas zu vergessen bzw. falsch zu deuten.

Zitat:

b. Welche geometrische Bedeutung haben die in der Aufgabe vorkommenden Begriffe?

Diese Liste zu erweitern wäre nett.
?? - bei Unsicherheit meinerseits.

Zu Fragen:

Zitat:

das geht nicht ! die Einkaufsmengen sind nicht variabel, sondern die Stückpreise.Das ist ziemlich ungewohnt und weltfremd, aber so steht es in der Aufgabe.

Ich meine damit eine neue Aufgabe, in der eine Achse - 0 wäre.
Wir hätten zwei Einkaufsvorgänge, mit drei gekauften Produkten.
Einkauf 1 - von einem Produkt wird keines gekauft.
Geometrisch ist eine koordinate 0 - also sie ist oder liegt am Uhrsprung verwirrt

b.
Einkaufsmengen = Anzahl des gekauften Produktes = gegeben.
Stückpreise - geometrisch ist es doch der Variablenvec. ? Also auch geometrisch Variabel.
In der Aufgabe selbst ist diese nicht veränderbar, da es ja ein Gleichungssystem mit der 2 Ebene bildet um die Preise (oder deren Vehältnis) zu bestimmen.

lg

13.05.2013, 19:06

Tipso

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offen ist die Richtigkeit und die Vollständigkeit der Liste.

Nächte Aufgabenstellung dazu:

c.

Zitat:

Erläutern Sie anhand geometrischer Argumente, inwieweit auf der Basis dieser Angaben die Einzelpreise der der Produkte berechnet werden können.

Was ändert sich hier dazu noch bei einer Ebene mit einer koordinate (0)

Als z.B $\begin{eqnarray*} e = 3x + 4z = 0 \end{eqnarray*}$
lg

16.05.2013, 02:25

Tipso

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Aus was besteht der Gesamtpreis?

Aus dem skalaren Produkt des Normalenvektors mit einem Punkt(beliebig??) der Ebene?

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