Isomorphismus Diedergruppen

08.05.2013, 15:16	abelsche_gruppe	Auf diesen Beitrag antworten »
Isomorphismus Diedergruppen Meine Frage: Ich stehe vor folgendem Problem: Für welche $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} Dih_{2k} \end{eqnarray}$ isomorph zu $\begin{eqnarray} Dih_{k} \times \mathbb Z/2\mathbb Z \end{eqnarray}$ ? Dih ist die Diedergruppe. Meine Ideen: Das einzige, was ich bisher herausgefunden habe, ist das $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ ungerade sein muss, sonst gäbe es in $\begin{eqnarray} Dih_{2k} \end{eqnarray}$ drei Elemente der Ordnung zwei, nämlich die beiden Elementarspiegelungen $\begin{eqnarray} s \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} t \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} (st)^k \end{eqnarray}$ , in $\begin{eqnarray} Dih_{k} \times \mathbb Z/2\mathbb Z \end{eqnarray}$ dagegen vier, nämlich $\begin{eqnarray} s \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} t \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} (st)^{k/2} \end{eqnarray}$ und die Erzeugende von $\begin{eqnarray} \mathbb Z/2\mathbb Z \end{eqnarray}$ , nachher r genannt. Also $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ ungerade. Es liegt nahe, den Isomorphismus, so zu wählen, dass von $\begin{eqnarray} Dih_{k} \times \mathbb Z/2\mathbb Z \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} Dih_{2k} \end{eqnarray}$ t auf t, s auf s und r auf $\begin{eqnarray} (st)^k \end{eqnarray}$ abgebildet werden, da kann ich dann eigentlich keine Widersprüche entdecken. Die Beziehungen $\begin{eqnarray} s^2=t^2=(st)^{2k}=1 \end{eqnarray}$ aus $\begin{eqnarray} Dih_{2k} \end{eqnarray}$ sind dann trivialerweise erfüllt und die Abbildung ist bijektiv. Irgendwie kann das aber noch nicht reichen, da ja für k gerade ein Widerspruch herauskommen muss. Wo liegt mein Fehler? Danke schonmal.
08.05.2013, 15:30	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Also für $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ gerade sind die beiden Gruppen sicher nicht isomorph, da es eine unterschiedliche Anzahl an Element der Ordnung 2 gibt. Das ist schon richtig. Aber du erzählst in deiner Begründung von drei solchen Elementen? Die Anzahl solcher Elemente hängt sicher von $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ ab und wird mit $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ immer größer. Versuche da also nochmal genauer drüber nachzudenken. Dann zu $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ ungerade: (Hier stand natürlich Quatsch, wir betrachten ja $\begin{eqnarray} D_{2k} \end{eqnarray}$ ...) Es sollte dann in der Tat $\begin{eqnarray} D_{2k} = \langle \tau, \sigma^2 \rangle \times \langle \sigma^k \rangle \end{eqnarray}$ gelten.
08.05.2013, 15:53	abelsche_gruppe	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimmt bei der Anzahl der Elemente mit Ordnung zwei hatte ich einen Fehler. Alle Elemente mit ungerader Länge und $\begin{eqnarray} (st)^{k/2} \end{eqnarray}$ (falls dies existiert) haben Ordnung 2, also hat $\begin{eqnarray} Dih_{2k} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 2k+1 \end{eqnarray}$ Elemente der Ordnung 2. Für k gerade hat $\begin{eqnarray} Dih_k \times \mathbb Z/2 \mathbb Z \end{eqnarray}$ dann die $\begin{eqnarray} k+1 \end{eqnarray}$ von der Diedergruppe erzeugten Elemente der Ordnung 2, da r mit s und t vertauscht, kommen noch einmal $\begin{eqnarray} k+1 \end{eqnarray}$ hinzu und dann noch r selber, also insgesamt $\begin{eqnarray} 2k+3 \end{eqnarray}$ . Also sind sie nicht isomorph. Für k ungerade kommt bei beiden Gruppen $\begin{eqnarray} 2k+1 \end{eqnarray}$ raus. Bei ungerade weiß ich aber immer noch nicht genau, wie ich das zeigen soll, was muss ich da alles Nachrechnen? Theoretisch müsste ich ja $\begin{eqnarray} \phi(a)\phi(b)=\phi(ab) \end{eqnarray}$ für jedes Elementenpaar zeigen oder reichen da die Erzeugenden? Kann ja aber eigentlich nicht sein, da sich für gerade Zahlen dann ein Widerspruch mit der vorher gegebenen Zuordnung ergeben sollte.
08.05.2013, 20:43	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich würde eher auf den Satz vom inneren direkten Produkt zurückgreifen. Sind $\begin{eqnarray} N_1,N_2 \subset G \end{eqnarray}$ zwei Normalteiler mit $\begin{eqnarray} N_1N_2 = G \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} N_1 \cap N_2 = e \end{eqnarray}$ , so gilt $\begin{eqnarray} G \cong N_1 \times N_2 \end{eqnarray}$ Ein Iso ist gegeben durch $\begin{eqnarray} N_1 \times N_2 \to G, (a,b) \mapsto ab \end{eqnarray}$
09.05.2013, 16:31	abelsche_gruppe	Auf diesen Beitrag antworten »
Hm, den Satz hatten wir in der Vorlesung nicht. Das Problem tauchte auch im Rahmen der Vorlesung Spiegelungsgruppen auf, ich habe eigentlich noch gar kein Algebra (nur lineare Algebra) gehabt. Wenn ich das richtig verstehe soll ich von einer Gruppe zwei Normalteiler finden. Das wäre ja zum Beispiel $\begin{eqnarray} \{1,r\} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \{1,s (ts)^k,(st)^k\} \end{eqnarray}$ . Die beiden Normalteiler sind auch bis auf das neutrale Element disjunkt. und bilden zusammen die ganze Gruppe. Wie kann ich jetzt aber daraus auf Isomorphie schließen?

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