Flächenberechnung/bestimmtes Integral - Schnittpunkte

08.05.2013, 19:26

Thessia

Flächenberechnung/bestimmtes Integral - Schnittpunkte

*seufz* langsam bekommen ich ein schlechtes Gewissen, hier alles zuzuspamen mit meinen Beispielen, aber ich weiß nicht was ich sonst tun soll Gott

Ich habe 2 Funktionen gegeben, die ich schneiden soll und dann die Fläche zwischen diesen ausrechnen soll. Ich spiele mit schon seit gut 1 1/2 Stunden, aber bin einfach zu blöd, um die Schnittpunkte zu finden, bzw. finde ich meine Fehler nicht.

Gegeben:
f(x)= 0,5x² + 2
g(x)= -1/9*(x-1)²+1

Mein Vorgehen:
Ich löse erst mal die binomische Formel auf:

-1/9*(x2 - 2x + 1)+1=
= -1/9*x2 - 2x + 2 (ich bin mir nicht sicher, muss ich die gesamte Gleichung mit -1/9 multiplizieren? habe das auch probieren, das war auch falsch.)

So jetzt bin ich mir nicht sicher, darf ich sie vor dem Gleichsetzen mit der anderen Gleichung vereinfachen, also mit 9 multiplizieren? Habe das auf jeden Fall mal gemacht.

-x² - 18x + 16 = 1/2x² + 2
-3/2x² - 18x + 16 = 0 |*2
-3x² - 36x - 32 = 0 |/3
-x² + 12x - 32/3

das ganze in die kleine quadratische Formel eingetragen, aber das richtige Ergebnis kommt mir dabei nicht raus.

$\begin{eqnarray*} x1,2 = -6 \pm \sqrt[]{6^2 + \frac{32}{3}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x1= 0,8313... \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x2= -12,8313... \end{eqnarray*}$
(Ich habe es endlich geschafft, mit diesem LaTex umzugehen Big Laugh

)

Richtiges Ergebnis: x1= -2 ; x2= 10/7

Bitte um Hilfe! verwirrt

08.05.2013, 19:36

Dopap

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eine Funktion darfst du nicht verändern. Logisch

Wenn du binomisch ausquadriert hast, darfst du nicht einfach die Klammer weglassen.

08.05.2013, 19:50

Thessia

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Hm, okay, also so?

x² - 2x +1 = -1/2x² +2
3/2x² - 2x -1 = 0

$\begin{eqnarray*} x1,2 = \frac {2 \pm \sqrt[]{4 - 4* \frac{3}{2}*(-1)}}{2* \frac{3}{2}} \end{eqnarray*}$

Das stimmt aber auch nicht traurig

Edit: Sehe gerade, habe mich geirrt, nicht 1/2 sondern 3/2.

08.05.2013, 20:02

Dopap

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jetzt hast du dafür einfach den Faktor $\begin{eqnarray*} -\frac 19 \end{eqnarray*}$ weggelassen. Das hat die Funktion massiv verändert. Man sollte ausmultiplizieren.

08.05.2013, 20:21

Thessia

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Kam mir beim machen auch komisch vor, aber ich dachte halt...keine Ahnung was ich dachte.

$\begin{eqnarray*} \frac {-1}{9}*(x^2-2x+1)+1 = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac {-1}{9}*x^2 + \frac {2}{9}*x - \frac {10}{9} = \frac {-1}{2}*x^2 + 2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac {7}{18}*x^2 + \frac {2}{9}*x - \frac {10}{9} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x1,2 = \frac{ -\frac{2}{9} \pm \sqrt[] { ( - \frac{2}{9})^2 - 4 * \frac{7}{18} * \frac{-10}{9}}} {2* \frac{7}{18} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x1,2 = \frac {-\frac {2}{9} \pm \sqrt[]{ \frac{4}{81} + \frac{140}{81} } }{ \frac{7}{9}} \end{eqnarray*}$

Edit: Vorzeichenfehler.

So? Stimmt aber immer noch nicht traurig

08.05.2013, 20:50

thk

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Sorry wenn ich reinplatze, aber bevor du endlos rechnest...

Die Bilder von
f(x)= 0,5x² + 2
g(x)= -1/9*(x-1)²+1

haben keinen Schnittpunkt verwirrt

und -1/9*(x-1)²+1-(0,5x² + 2)
= -1/9x^2+2/9x+8/9 - (0,5x² + 2)
= -11/18x^2+2/9x-10/9

und wech

08.05.2013, 20:53

Dopap

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Zitat:

Original von Thessia

$\begin{eqnarray*} \frac {7}{18}*x^2 + \frac {2}{9}*x - \color{red}\frac {8}{9} \end{eqnarray*}$

Bruchrechnen ist immer so eine Sache, warum setzen wir nicht sofort die Originale gleich und multiplizieren so durch, dass nur ganze Zahlen entstehen.

$\begin{eqnarray*} g(x)=f(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -\frac 1 9(x-1)^2+1=\frac 12 x^2+2 \qquad \bigg |-1 \end{eqnarray*}$ und vereinfachen

$\begin{eqnarray*} -\frac 1 9(x-1)^2=\frac 12 x^2+1 \end{eqnarray*}$ und jetzt noch nicht das Quadrat auflösen sondern mit (-18) ( Hauptnenner durchmultiplizieren

$\begin{eqnarray*} -\frac 1 9(x-1)^2=\frac 12 x^2+1\qquad \bigg | *(-18) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2(x-1)^2=-9 x^2-18 \end{eqnarray*}$

sieht doch schon viel freundlicher aus , oder? und man vermeidet Brüche in der abc-Formel.

nur habe ich einen Verdacht

edit :@thk der Hinweis auf leere Schnittmenge hätte genügt.

08.05.2013, 20:56

Thessia

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Habe mich in der Angabe verschrieben, aber in meinen Misslungen Rechnungen immer damit gerechnet.

f(x)= -0,5*x² + 2 !

So geht das natürlich auch. Probiere das mal Big Laugh

08.05.2013, 21:00

Dopap

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o.k. dann versuch es doch nochmals mit meiner Vorlage (nur das Minus ändern).

oder gefällt dir der Weg mit Hauptnenner- multiplikation nicht so sehr wie mir ?

08.05.2013, 21:32

Thessia

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Also dieser Herr Hauptnenner-Multiplikation ist mir schon sehr sympathisch Big Laugh

$\begin{eqnarray*} - \frac {1}{9}(x-1)^2 + 1 = - \frac {1}{2}x^2 + 2 | -1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} - \frac {1}{9}(x-1)^2 = - \frac {1}{2}x^2 + 1 |* (-18) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2(x-1)^2 = 9x^2 - 18 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2(x^2 - 2x + 1) = 9x^2 - 18 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2x^2 - 4x + 2 = 9x^2 - 18 |-19x^2 | +18 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -7x^2 - 4x + 20 = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac {4 \pm \sqrt{(-4)^2-4*(-7)*20}}{2*(-7) } \end{eqnarray*}$

Was hab ich jetzt schon wieder falsch gemacht.. traurig

Edit: Das stimmt ja smile

)))))! JUHU! Vielen Dank für deine Geduld!!!

08.05.2013, 21:48

Dopap

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freut mich smile

Allerdings ist es ja so, dass hinterher das Integral von g(x)-f(x) zu bilden ist.

Wenn man nun g(x)-f(x)= 0 zur Schnittstellensuche setzt und nicht durchmultipliziert, erhält man eine vereinfachte Differenz von g(x)-f(x) =D

$\begin{eqnarray*} J=\int_{x_1}^{x_2} \,\underbrace {g(x)-f(x)}_{=D} \dd x \end{eqnarray*}$

und dieses D braucht man im Integral noch einmal.

Man spart sich doppelte Arbeit. Augenzwinkern

08.05.2013, 22:01

Thessia

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Du meinst

-7x² -4x +20 = 0

ist dieses D von dem du sprichst? Es fällt mir beim Üben eh oft auf, dass es immer dasselbe ist. Also kann ich einfach IMMER sofort das verwenden?

08.05.2013, 22:17

Dopap

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Zitat:

Original von Thessia

-7x² -4x +20 = 0

nee, das darfst du leider nicht verwenden. Du darfst nur das verwenden was vorher nicht durchmultipliziert wurde.

Allerdings kannst du die Hauptnenner-Multiplikation jetzt wieder rückgängig machen:

$\begin{eqnarray*} D=\frac {-7x^2-4x+20}{18} \end{eqnarray*}$ die Division brauchst du aber nicht auszuführen denn der Nenner kann vor das Integral

$\begin{eqnarray*} J=\int_{x_1}^{x_2}\, \frac {-7x^2-4x+20}{18} \, \dd x = \frac {1}{18}\int_{x_1}^{x_2}\, -7x^2-4x+20 \, \dd x \end{eqnarray*}$

jetzt hast du doch wieder deinen einfachen Integranden und keine Brüche. Und gerade diese kleinen Brüche im Integranden sind fehleranfällig.

08.05.2013, 22:48

Thessia

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Ui, verstehe smile

Ja, und wie fehleranfällig die sind, vor allem wenn man aus Prinzip zu dumm ist, irgendetwas in den Taschenrechner zu tippen Big Laugh

Vielen vielen Dank nochmal! Hast mir sehr geholfen!

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