Kombinatorischer Beweis?

08.05.2013, 20:09	sartari	Auf diesen Beitrag antworten »
Kombinatorischer Beweis? Sitze gerade an folgender Ungleichung und soll zeigen, dass sie für $\begin{eqnarray} n \in \mathbb{N_+}, k \in \mathbb{N} \end{eqnarray}$ gilt: $\begin{eqnarray} \binom{n}{k} \frac{1}{n^k} \leq \frac{1}{2^{k-1}} \end{eqnarray}$ Und wegen dem Binomialkoeffizienten und dem n^k denke ich irgendwie an kombinatorische Beweisführung, zumal ich durch Umformung etc. nicht gerade sonderlich weit gekommen bin. Jemand eine Idee?
09.05.2013, 06:52	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} {n \choose k} \cdot \frac{1}{n^k} = \frac{1 \cdot \left( 1 - \frac{1}{n} \right) \left( 1 - \frac{2}{n} \right) \cdots \left( 1 - \frac{k-1}{n} \right)}{k!} \leq \frac{1}{k!} \leq \frac{1}{2^{k-1}} \end{eqnarray}$ Überlege dir die Details der Umformung.
09.05.2013, 16:52	sartari	Auf diesen Beitrag antworten »
Hm, ich komm nicht drauf, wie ich das so umformen soll...?
09.05.2013, 17:46	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} {n \choose k} = \frac{n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdots \left( n - (k-1) \right)}{k!} \end{eqnarray}$
09.05.2013, 17:52	sartari	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh mann, klar. Dankeschön!

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