Umformung der Bereiche

08.05.2013, 23:49

Tipso

Umformung der Bereiche

Edit (mY+): Hilfeersuchen sind (vor allem im Titel) nicht erwünscht und werden entfernt.

Hallo,

Eine der Dinge die mir bei der Wahrscheinlicheitsrechnung Probleme bereiten sind die unterschiedlichen Umformungen bei den Bereichen die notwendig werden bei der Überleitung von der Binomial in die Normal bzw. Standartnormalvert. und auch bei größer als Flächen bzw. negativen Flächen.

Beispiele mit Fragen:
a.
Negativitätsregel

Wie ändert sich diese?

$\begin{eqnarray*} P(z<-3) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P(x<-3) \end{eqnarray*}$
macht es hier erstmal einen Unterschied?
Ob es sich um die Normalverteilung handelt oder um die Standartnormalverteilung?
$\begin{eqnarray*} P(z<-3) = 1 - P(z<3) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P(x<-3) = 1 - P(x<-3) \end{eqnarray*}$
b.
Größer als

$\begin{eqnarray*} P(z>-3) = P(z<3) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(z>3) = 1 - P(z<3) \end{eqnarray*}$

Wann wird das 3 um eines kleiner?
Warum?

$\begin{eqnarray*} P(x>-3) = P(x<3) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(x>3) = 1-P(x>3) \end{eqnarray*}$

Wie sieht hier die Überleitung auf z aus verwirrt

c.
Zwischen
$\begin{eqnarray*} P( -3<x<-1) = (1 - (x<1))-(1-(x<3)) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(-1<x<2) = (x<2) - (1 - (x<1)) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(1<x<3) = (x<3) - (1 - (x<1)) \end{eqnarray*}$

d.
Von Binomial in Normal und von hier auf Standartnormalverteilung

lg

09.05.2013, 03:07

Dopap

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zur Standardnormalverteilung kenn ich nur eine Regel

$\begin{eqnarray*} \Phi(-z)=1-\Phi(z) \end{eqnarray*}$ und das auch nur wenn du in den Tabellen nachliest.

Alles andere mit z kannst du vergessen.

Ausserdem stopfst du dich mit einem Haufen "Regeln" zu, die keiner braucht.

Bei diskreten Verteilungen musst du nur genau schauen, was dazu gehört oder nicht. Also Achtung bei $\begin{eqnarray*} a <X<b\quad a,b \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$
zusätzlich noch evtl. die Stetigkeitsregel anwenden.

bevor es zur Standardnormalverteilung zum Ablesen geht muss immer so etwas dastehen:

$\begin{eqnarray*} P(x\leq ...) \end{eqnarray*}$ , sonst geht das mit z und $\begin{eqnarray*} \Phi \end{eqnarray*}$ nicht.

bei stetigen Verteilungen ist es egal ob $\begin{eqnarray*} a< X < b \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} a\leq X \leq b \end{eqnarray*}$
dasteht.

09.05.2013, 03:30

Tipso

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Zitat:

Original von Dopap
$\begin{eqnarray*} P(x\leq ...) \end{eqnarray*}$ , sonst geht das mit z und $\begin{eqnarray*} \Phi \end{eqnarray*}$ nicht.

Achso, wusste ich nicht.
Warum?

Bsp.

$\begin{eqnarray*} P(x\leq30 ) \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} P(x<31) \end{eqnarray*}$

b.
Bei Intervallen, also $\begin{eqnarray*} P(15 \leq x \leq30 ) \end{eqnarray*}$ ist es ja nur wichtig zu schauen, was genau gemeint ist und wo es liegt.

c.
$\begin{eqnarray*} P(-1,45 \leq x <0,33 ) \end{eqnarray*}$ = geht nicht $\begin{eqnarray*} P(-0,45<x<0,33 ) \end{eqnarray*}$

d.
Ein großes Problem habe ich noch:

Beispiel:
Ich suche diese Fläche

$\begin{eqnarray*} P(-7,85<x<8,25 ) \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} P(x=8,25) - P(x= - 7,75) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z_1 = \frac{8,25 - 8}{0,15} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z_2 = \frac{- 7,85 - 8}{0,15} \end{eqnarray*}$

Bei zweiteres muss mein x = 7,85 sein und genau dies verstehe ich nicht.

09.05.2013, 04:45

Dopap

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Zitat:

Ich suche diese Fläche (Wahrscheinlichkeit)
( stetig : )
$\begin{eqnarray*} P(-7,85<x<8,25 ) = P(x=8,25) - P(x= - 7,75) \end{eqnarray*}$

nein nicht so schreiben, sondern

$\begin{eqnarray*} P(-7,85<x<8,25 ) = P(x {\color{red}\leq} 8,25) - P(x{\color{red}\leq}- 7,75) \end{eqnarray*}$

1.) erst wenn $\begin{eqnarray*} P(X\leq ...) \end{eqnarray*}$ steht , ist es für die $\begin{eqnarray*} \Phi \end{eqnarray*}$ -tabellen passend.
2.) $\begin{eqnarray*} < \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ ist egal

deine z-Werte sind dann aber natürlich trotzdem richtig!!

c. (nochmal stetig: )

$\begin{eqnarray*} p(-1.45 \leq x < 0.33) = p(x\leq 0.33 ) - p(x \leq -1.45) \end{eqnarray*}$ und wieder passt es
für die $\begin{eqnarray*} \Phi \end{eqnarray*}$ Funktion.

ganz einfach, immer dasselbe Schema.

09.05.2013, 05:03

Tipso

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ich nehme einfach standartisiert immer

$\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ .

Letzte Thematik dazu:

Ich approximiere eine Binomialverteilung zu einer Normalverteilung und diese auf die Standartnormalverteilung.

Als Beispiel eigenet sich hier diese Aufgabe sehr gut:

Zitat:

Ein Vertreter stellt fest, dass er in 10% aller Verkaufsgespräche zu einem Abschlusskommt.
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, bei 1.000 Verkaufsgesprächen zwischen 90 und 110Abschlüssen zu erzielen?

$\begin{eqnarray*} P(90<X<110) \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} P(91\leq X\leq 109) \end{eqnarray*}$

Muss ich warum machen überhaupt?

$\begin{eqnarray*} \mu = n*p = 1000*0,1= 100 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sigma^2 = n*p*(1-p) = 1000*0,1*0,9 = 90 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sigma= 9,49 \end{eqnarray*}$

-----------------------

Hier wird es erst richtig interessant:

$\begin{eqnarray*} z_1 = \frac{x-\mu }{\sigma } =\frac{91-100 }{9,49 }=-0,948 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z_2 = \frac{x-\mu }{\sigma } = \frac{109-100 }{9,49 }=0,948 \end{eqnarray*}$

ist aber falsch verwirrt

09.05.2013, 05:38

Dopap

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bei diskreten Verteilungen muss man zwischen $\begin{eqnarray*} < \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ unterscheiden.

und jetzt wieder logisch:

es steht: $\begin{eqnarray*} p( 91 \leq x ....) \Rightarrow P(....) -p(x\leq 90) \end{eqnarray*}$

da 91 zum Intervall dazugehört, darf ich beim Subtrahieren die 91 nicht abziehen.

so allmählich verstanden ?

--------------------------------------------

mit Stetigkeitskorrektur ist es sogar etwas einfacher

09.05.2013, 05:55

Tipso

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Zitat:

diskreten Verteilungen

Achso.
Binom. zu Normal = diskrete Verteilung.

Naja die Logik des kontinuums.
Wenn eines egal ist, weil es eben nur Bereiche gibt, warum nehmen wir nicht immer 1nes weniger bis wir bei 0 sind. Big Laugh

bei Normalv. bzw. Standartn. ist
$\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ bzw.
$\begin{eqnarray*} > \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} < \end{eqnarray*}$ egal

Ich wiederhole mich zur Sicherheit.
Ich werde mir die Infos die nächsten Tage wiederholt durchlesen. Freude

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