Komplexes WegIntegral von |z| und Im(z)

09.05.2013, 14:11	Nizo	Auf diesen Beitrag antworten »
Komplexes WegIntegral von \|z\| und Im(z) Meine Frage: Guten Tag, ich habe hier zwei Aufgaben zur Funktionentheorie I, diese lauten wie folgt: $\begin{eqnarray} \mathbf{Aufgabe 1:} \end{eqnarray}$ Die Funktion $\begin{eqnarray} f : \mathbb{C} \to \mathbb{C}, f \left( z \right) := \left\| z \right\| \end{eqnarray}$ ist von $\begin{eqnarray} \mathit{i} \end{eqnarray}$ nach $\begin{eqnarray} \mathit{-i} \end{eqnarray}$ zu integrieren. (a) Über die direkte Strecke auf der imaginären Achse. (b) Über den Halbkreisbogen des Einheitskreises $\begin{eqnarray} S^1 \end{eqnarray}$ . Ich habe die beiden Integrale berechnet, ich bin mir allerdings nicht ganz sicher, ob ich das korrekt gemacht habe. Vor allem bin ich mir unsicher wegen dem Betrag, da man ja im reellen quasi eine Fallunterscheidung machen muss. Ich weiß allerdings nicht, wie das im komplexen aussieht, da der Betrag dort etwas anders aussieht. Ich würde mich freuen, wenn ihr meine Rechnung überprüfen könntet. $\begin{eqnarray} \mathbf{Aufgabe 2:} \end{eqnarray}$ Seien $\begin{eqnarray} a,b \in \mathbb{C} \end{eqnarray}$ komplexe Zahlen und $\begin{eqnarray} \mathbb{B}_r \left( 0 \right) \end{eqnarray}$ die Kreisscheibe um 0 mit Radius $\begin{eqnarray} r > 0 \end{eqnarray}$ . Berechnen Sie die Integrale: $\begin{eqnarray} \int_{\gamma_i} Im \left( z \right) dz \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} i \in \{ 1;2 \} \end{eqnarray}$ . Dabei ist $\begin{eqnarray} \gamma_1 \end{eqnarray}$ die Gerade von $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ nach $\begin{eqnarray} b \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \gamma_2= \partial \mathbb{B}_r \left( 0 \right) \end{eqnarray}$ im UZS umlaufen. Auch diese Aufgabe habe ich bereits gerechnet. Bei der Aufgabe 2 bin ich mir insgesamt nicht sicher, ob ich mich nicht vertan habe. Bei der (1) weiß ich nicht, ob man das vereinfachen kann und bei der (2) hatte ich bei einem anderen Rechenweg dasselbe Ergebnis raus, nur das dort stand $\begin{eqnarray} \mathit{i} \pi \left\| z \right\|^2 \end{eqnarray}$ . Meine Ideen: Das Kurvenintegral wurde bei uns definiert als: $\begin{eqnarray} \int_{\gamma} f \left( z \right) dz := \int_a^b f \left(\gamma \left( t \right) \right) \gamma^{\prime} \left( t \right) dt \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \gamma : \left[ a,b \right] \to \mathbb{C}, f: \gamma \left(\left[a,b \right]\right) \to \mathbb{C} \end{eqnarray}$ stetig. $\begin{eqnarray} \mathbf{Rechnung} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \mathbf{Aufgabe 1:} \end{eqnarray}$ (a) Parametrisierung: $\begin{eqnarray} \gamma \left( t \right) = \mathit{i} t, \quad \gamma^{\prime} \left( t \right) = \mathit{i}, \quad t \in \left[ -1, 1 \right] \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \int_{\mathit{i}}^{\mathit{-i}} f \left( z \right) dz = \int_{-1}^{1} \left\| \gamma \left( t \right) \right\| \gamma^{\prime} \left( t \right) dt = \int_{-1}^{1} \mathit{i} \left\| \mathit{i} t\right\| = \mathit{i} \int_{-1}^{1} t dt = \frac{\mathit{i}}{2} \left[ t^2 \right]_{-1}^1 = 0 \end{eqnarray}$ (b) Parametrisierung: $\begin{eqnarray} \gamma \left( t \right) = e^{\mathit{i} t}, \quad \gamma^{\prime} \left( t \right) = \mathit{i} e^{\mathit{i} t}, \quad t \in \left[ \frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2} \right] \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \int_{\mathit{i}}^{\mathit{-i}} f \left( z \right) dz = \int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3 \pi}{2}} \left\| \gamma \left( t \right) \right\| \gamma^{\prime} \left( t \right) dt = \int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \mathit{i} \left\| e^{\mathit{i} t} \right\| e^{\mathit{i} t} = \mathit{i} \int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3 \pi}{2}} e^{\mathit{i} t} dt = \mathit{i} \left[ e^{\mathit{i} t} \right]_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3 \pi}{2}} = 0 \end{eqnarray}$ Ich bin mir allerdings nicht sicher, ob ich das mit der Betragsfunktion so machen darf, da das ja im reellen etwas anders ist. $\begin{eqnarray} \mathbf{Rechnung} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \mathbf{Aufgabe 2:} \end{eqnarray}$ (1) Parametrisierung: $\begin{eqnarray} \gamma_1 \left( t \right) = a + t \left( b - a \right), \quad \gamma_1^{\prime} \left( t \right) = \left( b - a \right), \quad t \in \left[ 0,1\right] \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \int_a^b Im \left( z \right) dz = Im \left( \gamma_1 \left( t \right) \right) \gamma_1^{\prime} \left( t \right) dt = \int_0^1 Im \left( a + t \left( b - a \right) \right) \left( b - a \right) dt \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} Im \left( z \right) = \frac{-\mathit{i} \left( z - \overline{z}\right)}{2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow \quad \frac{-\mathit{i}}{2} \int_0^1 \left(a + t \left(b-a \right) - \overline{\left( a + t \left(b-a \right) \right)} \right) \left( b-a \right) dt = \frac{-\mathit{i}}{2} \int_0^1 \left(a + t \left(b-a \right) - \left( \overline{a} + t \left(\overline{b}-\overline{a} \right) \right) \right) \left( b-a \right) dt =<br /> \frac{-\mathit{i}}{2} \left( \left( a - \overline{a}\right) \left( b -a \right) \int_0^1 dt + \left( b - \overline{b} - a + \overline{a}\right) \left( b -a \right) \int_0^1 t dt \right) = \frac{-\mathit{i}}{2} \left( \left(b-a \right) \left( a-\overline{a} +\frac{1}{2}\left( b - a +\overline{a}- \overline{b} \right) \right) \right) \end{eqnarray}$ (2) Parametrisierung: $\begin{eqnarray} \gamma_2 \left( t \right) = \left\|z\right\| e^{-\mathit{i} t}, \quad \gamma_2^{\prime} \left(t\right) = -\mathit{i} \left\|z\right\| e^{-\mathit{i} t}, \quad t \in \left[ 0,2 \pi\right] \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \int_{\partial \mathbb{B}_r \left(0\right)} Im \left( z \right) dz = \frac{-\mathit{i}}{2} \int_0^{2 \pi} \left( \left\| z \right\| e^{-\mathit{i} t} - \left\| z \right\| e^{\mathit{i} t}\right) \left( -\mathit{i} \left\| z \right\| e^{-\mathit{i} t} \right) = \frac{\left\| z \right\|^2}{2} \int_{2 \pi}^0 \left( e^{-\mathit{i} 2 t} - 1 \right) dt = \frac{\left\| z \right\|^2}{2}\left( \int_{2 \pi}^0 e^{-\mathit{i} 2 t} dt + \int_0^{2 \pi} dt \right) =<br /> \frac{\left\| z \right\|^2}{2} \left( \frac{1}{-2 \mathit{i}} \left[ e^{-\mathit{i 2 t}} \right]_{2 \pi}^0 + \left[ t \right]_0^{2 \pi} \right) = \pi \left\| z \right\|^2 \end{eqnarray}$ Es wäre echt nett, wenn sich mal jemand die Aufgaben ansehen und verifizieren oder bei Bedarf berichtigen könnte. Ich brauche diese Aufgaben bis Dienstag... Ein großes Dankeschön schon mal im vorraus. MfG
09.05.2013, 14:19	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Bei 1a) müßte es richtigerweise $\begin{eqnarray} \operatorname{i} \cdot \left\| \operatorname{i} t \right\| = \operatorname{i} \cdot \|t\| \end{eqnarray}$ heißen. Bei 1b) hast du bei der Bestimmung der Stammfunktion ein $\begin{eqnarray} \operatorname{i} \end{eqnarray}$ zu viel. Für den Wert des Integrals wirkt sich der Fehler allerdings nicht aus. Den Rest habe ich mir nicht angeschaut.
09.05.2013, 15:17	Nizo	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, danke für die schnelle Antwort, du hast recht, bei der 1 (b) ist ein i zuviel, das fällt richtigerweise durch die Integration der e-Funktion weg. Das bei der 1(a) \|t\| hin muss ist mir natürlich vorhher nicht aufgefallen, aber das ist natürlich auch richtig. Das heißt also das integral ändert sich ein wenig. Danke schonmal für die Hinweise.

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