Gradient, Taylorpolynom und Umgebung

09.05.2013, 14:59

Alexandra Ardanex

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Gradient, Taylorpolynom und Umgebung

Meine Frage:
Grüße Euch an dem Feiertag. Trotz strahlender Sonne muss Frau den Pflichten nachgehen. Meine Aufgabe behandelt Funktionen mit mehreren Variablen. Also:

Sei $\begin{eqnarray*} f: \mathbb R^3 \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x, y, z)=y^2+xz+z^2-e^{xz}-1. \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a) \end{eqnarray*}$ Zeigen Sie, dass auf einer Umgebung $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ um den Punkt $\begin{eqnarray*} (0,-1) \end{eqnarray*}$ eine Funktion $\begin{eqnarray*} g: U \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} g(0,-1)=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(x,y,g(x,y))=0 \end{eqnarray*}$ existiert.

$\begin{eqnarray*} b) \end{eqnarray*}$ Zeigen Sie, dass

grad $\begin{eqnarray*} g(x,y)=-\left(\frac{\partial f}{\partial z}(x,y,g(x,y)) \right)^{-1} \left(\frac{\partial f}{\partial x}(x,y,g(x,y)),(\frac{\partial f}{\partial y}(x,y,g(x,y)) \right) \end{eqnarray*}$

für alle $\begin{eqnarray*} (x,y) \in U \end{eqnarray*}$ gilt, und beweisen Sie, dass g auf $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ sogar zweimal stetig differenzierbar ist. Berechnen Sie auch die Hesse-Matrix $\begin{eqnarray*} H_g (0,-1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} c) \end{eqnarray*}$ Berechnen Sie das Taylor-Polynom 2.Ordnung zu $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ um den Punkt $\begin{eqnarray*} (0,-1). \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Die Taylorformel in mehreren Dimensionen besagt für alle $\begin{eqnarray*} x \in M \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} [a, x] \subset M \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} z \in [a,x] \end{eqnarray*}$ so, dass

$\begin{eqnarray*} f(x)=\sum\limits_{|j|\leq k}\frac{D^jf(a)}{j!}(x-a)^j+\sum\limits_{|j|=k+1}\frac{D^jf(z)}{j!}(x-a)^j \end{eqnarray*}$

Jetzt frage ich mich was genau die Funktion $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ ist, damit das Taylorpolynom berechnen kann. Bei $\begin{eqnarray*} b), c) \end{eqnarray*}$ wird's schon schwieriger.

Bedanke mich schon im voraus.

10.05.2013, 15:25

Alexandra Ardanex

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RE: Gradient, Taylorpolynom und Umgebung
Bitte/Flehe um Hilfe bei a),b) Gott

Gott

10.05.2013, 21:57

Tobi Semseg

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Überprüfe die Voraussetzungen des Satzes über Implizite Funktionen

12.05.2013, 00:24

Alexandra Ardanex

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Zitat:

Original von Tobi Semseg
Überprüfe die Voraussetzungen des Satzes über Implizite Funktionen

Welcher?

verwirrt

Aber der alleine reicht doch nicht aus?

12.05.2013, 11:17

McClane

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Doch. Welche Voraussetzungen müssen den nach dem Satz über implizite Funktionen erfüllt sein?

13.05.2013, 08:27

Alexandra Ardanex

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Ich lasse einfach die a) und b) ich versuche die c). Ich verstehe aber nicht was genau die Funktion g ist, damit ich das Taylorpolynom berechnen kann? Kann mir einer da zeigen was genau die Funktion ist? Danke.

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13.05.2013, 16:32

McClane

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Guck dir doch mal den Satz über implizite Funktionen an. Welche 2 Voraussetzungen müssen gelten? Wie kannst du die zusammen mit den Vorgaben bei der Aufgabe gebrauchen?

14.05.2013, 08:58

Alexandra Ardanex

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RE: Gradient, Taylorpolynom und Umgebung
Wir haben den Satz:

$\begin{eqnarray*} \left\{(x,y) \in U_1 x V_1|f(x,y)=0\right\}=\left\{(x,y) \in U_1 x V_1|y=g(x)\right\} \end{eqnarray*}$

Danke schon mal für den Tipp. Das müssten wir jetzt auf die Aufgabe beziehen. Meine Ideen sind nach $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ auflösen.

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow y=\sqrt{-xz-z^2+e^{xz}+1} \end{eqnarray*}$

Bin mir halt aber unsicher in meinem Vorgehen verwirrt

verwirrt

Also nochmal bei $\begin{eqnarray*} a) \end{eqnarray*}$ ist z.z. dass auf einer Umgebung $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ um den Punkt $\begin{eqnarray*} (0,-1) \end{eqnarray*}$ eine Funktion $\begin{eqnarray*} g: U \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} g(0,-1)=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(x,y,g(x,y))=0 \end{eqnarray*}$ existiert.

Also ich weiß jetzt wenigstens worum es geht, aber das ist noch zu wenig. Was mich noch verwirrt ist, dass jetzt $\begin{eqnarray*} f(x,y,g(x,y))=0 \end{eqnarray*}$ gilt. Das für unser $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ jetzt $\begin{eqnarray*} g(x,y) \end{eqnarray*}$ gilt, normalerweise war das immer zwei dimensional.

14.05.2013, 20:42

McClane

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Der satz ist unvollständig. Was wird den orausgesetzt, damit der Satz überhaupt gilt? Das steht auch in dem Satz über implizite Funktionen.

Laut Aufgabenstellung reicht es aus, nur die Existenz zu zeigen Augenzwinkern

Augenzwinkern

14.05.2013, 23:38

Alexandra Ardanex

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RE: Gradient, Taylorpolynom und Umgebung

Zitat:

Original von McClane
Der Satz ist unvollständig. Was wird denn vorausgesetzt, damit der Satz überhaupt gilt? Das steht auch in dem Satz über implizite Funktionen.

Ich sehe nur Sinn in der Endaussage, dass

$\begin{eqnarray*} \left\{(x,y) \in U_1 x V_1|f(x,y)=0\right\}=\left\{(x,y) \in U_1 x V_1|y=g(x)\right\} \end{eqnarray*}$

gilt. Mit dem Rest kann ich irgendwie nichts anfangen. Im Endeffekt dreht es sich doch aber nur um diese Aussage.

Zitat:

Original von McClane
Laut Aufgabenstellung reicht es aus, nur die Existenz zu zeigen Augenzwinkern

Augenzwinkern

Letztens waren's noch zwei Vorausetzungen, gelten müssen? Ich sehe nur eine. "Nur" Existenz zeigen.. und wie?

PS: Die Sätze sagen doch das gleiche aus.

15.05.2013, 08:06

Alexandra Ardanex

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Das kann doch nicht wahr sein.. Seit fast einer Woche sitze ich daran und Pustekuchen traurig

traurig

15.05.2013, 08:28

McClane

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Also: In dem Satz wird eine zweimal stetige Funktion betrachtet. Was muss außerdem für diese Funktion gelten? Für die Existens musst du diese beiden Bedingungen überprüfen. Dafür nutzt du aus, dass du weißt, wie g(0,-1) aussieht. Was würde g(0,-1) entsprechen? Wenn du das hast, ist es "nur" noch einsetzen.

Tipp: f(x,y,g(x,y)) zeigt dir eigentlich schon direkt was g(x,y) bzw g(0,-1) ist

15.05.2013, 23:19

Alexandra Ardanex

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Zitat:

Original von McClane
Tipp: f(x,y,g(x,y)) zeigt dir eigentlich schon direkt was g(x,y) bzw g(0,-1) ist

Wieso tue ich mich immer so schwer unglücklich

unglücklich

.

Noch was. Für die Approximation bis zur Ordnung 2. kann die Taylor-Formel auch wie folgt mit Hilfe der Jacobi-Matrix $\begin{eqnarray*} J_f(a) \end{eqnarray*}$ und der Hesse-Matrix $\begin{eqnarray*} H_f(a) \end{eqnarray*}$ dargestellt werden:

$\begin{eqnarray*} f(x) \approx f(a) + J_f (a) (x-a) + \frac{1}{2} (x-a)^T H_f (a) (x-a) \end{eqnarray*}$

Ich weiß jedoch nicht was mein $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ ist... daher kann ich das auch nicht berechnen..

15.05.2013, 23:57

Alexandra Ardanex

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Bitte es ist echt wichtig.

Zitat:

Original von McClane
Tipp: f(x,y,g(x,y)) zeigt dir eigentlich schon direkt was g(x,y) bzw g(0,-1) ist

$\begin{eqnarray*} z=g(x,y) \end{eqnarray*}$ ? Weiß irgendwie nicht was ich damit anfangen soll. Und wie zeige ich die Existenz?

16.05.2013, 08:22

Alexandra Ardanex

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Gott

pls.

16.05.2013, 08:53

McClane

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Ok. Nun weißt du ja wie z an der Stelle x,y aussieht. Den g(0,-1)=?? nach Voraussetzung.

Du hast nun also x,y,z gegeben und kannst gucken, ob die Funktion an dieser Stelle gleich Null ist.

Da du die Existenz von g mit g(0,-1)=1 zeigen sollst, musst du noch die Bedingungen vom Satz über implizite Funktionen überprüfen. f muss zb zweimal stetig partiell diffbar sein.

Es folgen aber noch zwei weitere Bedingungen in dem Satz. Die musst du auch überprüfen.

16.05.2013, 09:37

Alexandra Ardanex

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Zitat:

Original von McClane
Ok. Nun weißt du ja wie z an der Stelle x,y aussieht.

Nach einer Woche... Hut ab geschockt

geschockt

Zitat:

Original von McClane
Den g(0,-1)=?? nach Voraussetzung.

$\begin{eqnarray*} g(0,-1)=1! \end{eqnarray*}$

Ja wahrlich $\begin{eqnarray*} f(0,-1,1)=0 \end{eqnarray*}$ böse

böse

Zitat:

Original von McClane
Da du die Existenz von g mit g(0,-1)=1 zeigen sollst, musst du noch die Bedingungen vom Satz über implizite Funktionen überprüfen. f muss zb zweimal stetig partiell diffbar sein.

Es folgen aber noch zwei weitere Bedingungen in dem Satz. Die musst du auch überprüfen.

Was ist aber genau unsere Funktion $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ etwa?

$\begin{eqnarray*} g(x, y)=y^2+x-e^x-1 \end{eqnarray*}$

- f muss z.B. zweimal stetig partiell diffbar sein und was noch?

16.05.2013, 11:05

McClane

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Ok. Das ist soweit richtig.

Du brauchst g gar nicht zu bestimmen. Es reicht aus, dass du die Existenz zeigst. Die Bedingungen für die Existenz stehen im Satz 9.3.1 (Satz über implizite Funktionen). Eine hast du ja schon mit der 2 mal stetigen diffbarkeit gezeigt.

Was steht noch in dem Satz?

16.05.2013, 11:56

Alexandra Ardanex

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Zitat:

Original von McClane
Du brauchst g gar nicht zu bestimmen. nen). Eine hast du ja schon mit der 2 mal stetigen diffbarkeit gezeigt.

Aber um das Taylorpolynom zu bestimmen muss ich ja wissen was g ist. verwirrt

verwirrt

Zitat:

Original von McClane
Was steht noch in dem Satz?

Ehm ja, was steht noch verwirrt

verwirrt

16.05.2013, 12:05

McClane

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Wenn du dir für das Taylorpolynom den Aufgabenteil b anguckst, brauchst du g nicht kennen.

Aber erstmal zu a)

Du hast doch den Satz schon gepostet. Du brauchst die Bedingungen "nur" abschreiben. Was muss erfüllt sein?

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