Simultane Diagonalisierbarkeit

09.05.2013, 14:42

Spitzname:

Simultane Diagonalisierbarkeit

Meine Frage:
Hallo zusammen,

gegen habe ich die folgende Definition von simultaner Diagonalisierbarkeit:
Zwei Matrizen $\begin{eqnarray*} A,B \in M(n,K) \end{eqnarray*}$ heißen simultan diagonalisierbar gdw. eine Basis des $\begin{eqnarray*} K^n \end{eqnarray*}$ existiert, deren Elemente Eigenvektoren von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ sind.

Es ist zu zeigen, dass im Fall simultaner Diagonalisierbarkeit $\begin{eqnarray*} AB=BA \end{eqnarray*}$ gilt.

Meine Ideen:
Um ehrlich zu sein, tue ich mir damit etwas schwer. Grundsätzlich sind simultan diagonalisierbare Matrizen ja auch diagonalisierbar. Dies darf ich jedoch nicht benutzen.

Hat jemand einen Rat, wie man das am besten mit der oben genannten Definition zeigen kann? Ich danke euch schon mal im voraus für eure Hilfe Augenzwinkern

09.05.2013, 15:01

Mathesüchtiger

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Hey,

Zu zeigen:

$\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ sind bzgl. einer gemeinsamen Basis diagonalisierbar $\begin{eqnarray*} => A*B = B*A \end{eqnarray*}$

Wenn A und B bzgl. einer gemeinsamen Basis diagonalisierbar sind...was gilt dann?

Fange anschließend an mit:

$\begin{eqnarray*} A*B =.... \end{eqnarray*}$

09.05.2013, 15:29

Spitzname:

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Nun, es gilt, dass beide dieselbe darstellende Matrix haben. Diese hat die Eigenwerte zu den Basisvektoren auf der Diagonale. Vielleicht ist die darstellende Matrix auch der falsche Anhaltspunkt, da ich hier ja eine Matrix-Multiplikation vor mir habe ... irgendwie komme ich nicht drauf. Kannst du mir noch einen Tipp geben?

09.05.2013, 15:36

Mathesüchtiger

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Zitat:

Original von Spitzname:
Nun, es gilt, dass beide dieselbe darstellende Matrix haben. Diese hat die Eigenwerte zu den Basisvektoren auf der Diagonale.

Das stimmt doch schon Augenzwinkern

Nun schreibe doch mal die Gleichung(en) dazu auf.
$\begin{eqnarray*} A =... B =... \end{eqnarray*}$

09.05.2013, 15:43

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Ich würde sagen:

$\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} \lambda_1 & & 0 \\ & \ddots & \\ 0 & & \lambda_n \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} B=\begin{pmatrix} \mu_1 & & 0 \\ & \ddots & \\ 0 & & \mu_n \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

wobei $\begin{eqnarray*} \lambda_i,\mu_i \in K \end{eqnarray*}$ .

Ist das überhaupt korrekt? Irgendwie irritiert mich das. Wir haben die Diagonalisierung einer Matrix $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ bisher immer über den Endomorphismus $\begin{eqnarray*} \phi_A : x \to Ax \end{eqnarray*}$ definiert und uns dazu die darstellende Matrix mit der oben genannten Eigenschaft angeschaut ...

09.05.2013, 15:47

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Sry, für den Doppelpost. Das würde bedeuten:

$\begin{eqnarray*} AB=\begin{pmatrix} \lambda_1 & & 0 \\ & \ddots & \\ 0 & & \lambda_n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \mu_1 & & 0 \\ & \ddots & \\ 0 & & \mu_n \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \lambda_1 \mu_1 & & 0 \\ & \ddots & \\ 0 & & \lambda_n \mu_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \mu_1 & & 0 \\ & \ddots & \\ 0 & & \mu_n \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \lambda_1 & & 0 \\ & \ddots & \\ 0 & & \lambda_n \end{pmatrix}=BA \end{eqnarray*}$

09.05.2013, 16:02

Mathesüchtiger

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Ne leider nicht korrekt...

Ich glaube du verwechselst da etwas..

A und B sind im Allgemeinen keine Diagonalmatrizen , sondern diagonalisierbar.

Eine Matrix $\begin{eqnarray*} A \in K^{nxn} \end{eqnarray*}$ ist diagonalisierbar, wenn es eine invertierbare Matrix $\begin{eqnarray*} S \in GL_{n}(K) \end{eqnarray*}$ gibt, sodass gilt:

$\begin{eqnarray*} A = S^{-1} * D * S \end{eqnarray*}$ Mit einer Diagonalmatrix $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ .

09.05.2013, 16:07

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Zitat:

Original von MathesüchtigerEine Matrix $\begin{eqnarray*} A \in K^{nxn} \end{eqnarray*}$ ist diagonalisierbar, wenn es eine invertierbare Matrix $\begin{eqnarray*} S \in GL_{n}(K) \end{eqnarray*}$ gibt, sodass gilt:
$\begin{eqnarray*} A = S^{-1} * D * S \end{eqnarray*}$ Mit einer Diagonalmatrix $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ .

Okay, die Diagonalmatrizen könnten ja so aussehen, wie ich es eben für $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ hingeschrieben habe ... Wenn ich für $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ (bzw. $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ ) $\begin{eqnarray*} S^{-1} * D * S \end{eqnarray*}$ (bzw. $\begin{eqnarray*} S'^{-1} * D' * S' \end{eqnarray*}$ ) einsetze, komme ich aber noch nicht weiter.

Irgendwie stehe ich bei dieser Aufgabe ziemlich auf dem Schlauch ... unglücklich

09.05.2013, 16:15

Mathesüchtiger

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Also wir möchten ja zeigen, dass gilt:

$\begin{eqnarray*} A*B=B*A \end{eqnarray*}$ , wenn A und B. Über ein und der selben Menge von Eigenvektoren diagonalisierbar sind.

Wir dürfen also annehmen, dass A und B diagonalisierbar sind.

Dann gilt doch:

$\begin{eqnarray*} A = S^{-1}*D_{1}*S \end{eqnarray*}$
und

$\begin{eqnarray*} B=S'^{-1}*D_{2}*S' \end{eqnarray*}$

Da sich A und B über die selbe Menge von Eigenvektoren diagonalisierbar lassen, ist S'=S.

Also haben wir :

$\begin{eqnarray*} A = S^{-1}*D_{1}*S \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} B=S^{-1}*D_{2}*S \end{eqnarray*}$

Nun verwende diese beiden Gleichungen um

A*B so umzuformen, sodass wir auf B*A kommen.

09.05.2013, 17:35

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Nun denn

$\begin{eqnarray*} AB=(S^{-1}D_1 S)(S^{-1} D_2 S)=S^{-1} D_1 (SS^{-1}) D_2 S = S^{-1} (D_1 D_2) S = S^{-1} (D_2 D_1) S = S^{-1} D_2 (SS^{-1}) D_1 S = (S^{-1} D_2 S)(S^{-1} D_1 S) = BA \end{eqnarray*}$ .

Das sollte nun so stimmen, hoffe ich smile

Eine Frage hätte ich dann aber noch. Ich möchte noch zeigen: Hat $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ genau $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ verschiedene Eigenwerte, so ist $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ diagonalisierbar ...

Einzige Voraussetzung, die benutzt werden darf, ist $\begin{eqnarray*} AB=BA \end{eqnarray*}$ . $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ verschiedene Eigenwerte bedeutet ja auch $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ verschiedene Nullstellen im charakt. Polynom. Irgendwie muss hier aber wohl noch die Beziehung $\begin{eqnarray*} AB=BA \end{eqnarray*}$ reinspielen. Hättest du da auch noch eine Idee? Ich verzweifel so langsam, nachdem ich schon seit längerer Zeit im Internet recherchiert habe ... Forum Kloppe

09.05.2013, 21:48

RavenOnJ

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Wenn $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ genau n verschiedene EW hat, dann ist $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ diagonalisierbar. Sei $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ die orthogonale Transformationsmatrix für $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ in die Diagonalform $\begin{eqnarray*} \tilde A := SAS^{-1} \end{eqnarray*}$ . Die EW seien $\begin{eqnarray*} \lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n \end{eqnarray*}$ . Dann hat die inverse Matrix $\begin{eqnarray*} A^{-1} \end{eqnarray*}$ die EW $\begin{eqnarray*} \lambda_1^{-1},\lambda_2^{-1},\cdots,\lambda_n^{-1} \end{eqnarray*}$ . Wegen der Kommutativität von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} B=A^{-1}AB=A^{-1}BA \end{eqnarray*}$

sowie

$\begin{eqnarray*} \tilde B=\tilde A^{-1}\tilde A\tilde B=\tilde A^{-1}\tilde B\tilde A \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} \tilde B := SBS^{-1} \end{eqnarray*}$ . Da $\begin{eqnarray*} \tilde A,\tilde A^{-1} \end{eqnarray*}$ beide Diagonalform haben, kann man schreiben:

$\begin{eqnarray*} \tilde A^{-1}\tilde B\tilde A = \sum_{i=1}^n\sum_{k=1}^n\lambda_i^{-1}\lambda_k \tilde b_{ik}e_{ik} \end{eqnarray*}$

mit den Elementarmatrizen $\begin{eqnarray*} e_{ik} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \tilde B = \sum_{i=1}^n\sum_{k=1}^n \tilde b_{ik}e_{ik} \end{eqnarray*}$ . Offenbar müssen also alle Nicht-Diagonalelemente von $\begin{eqnarray*} \tilde B \end{eqnarray*}$ verschwinden, wie man durch Koeffizientenvergleich feststellen kann, da die Faktoren $\begin{eqnarray*} \lambda_i^{-1}\lambda_k ,i\not= k \end{eqnarray*}$ alle ungleich 1 sein müssen. Also diagonalisert $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ auch $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ , d.h. $\begin{eqnarray*} \tilde B \end{eqnarray*}$ hat Diagonalform.

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