Mathematische Modellbildung - Schaukelabsprung

09.05.2013, 18:00	Chico_Tobi	Auf diesen Beitrag antworten »
Mathematische Modellbildung - Schaukelabsprung Hi Leute, ihr kennt das: Man geht spazieren am Feiertag, findet einen Spielplatz, schaukelt, springt von der Schaukel ab und fragt sich plötzlich, welcher Absprungwinkel die Sprungweite maximiert. Gegebene Größen sind die Masse des Körpers, die Gesamt-Energie der Schaukelbewegung, die Höhe der Schaukel, die Absprunghöhe und die Erdbeschleunigung. Wir nutzen Energieerhaltung während der Schaukelbewegung und danach den Parabelflug. Vorläufiges Ziel ist eine Funktion, die der Absprunghöhe die Sprungweite zuordnet. Danach ist natürlich die Idee, durch Ableitung das Maximum zu finden (Existenz ist gegeben, da die Funktion auf ihrem abgeschlossenen Definitionsbereich stetig ist; die Ränder sind offensichtlich nicht maximierend). Meine Schritte waren Entdimensionalisierung, und dann sorgfältiges Lösen der Gleichung, aber es ist trotzdem sehr langatmig. Ich nehme mir demnächst die Zeit und tippe das alles ein. Eine Skizze sollte ich dazu auch machen, sonst checkt man eh nichts. Liebe Grüße Tobi
14.05.2013, 12:36	Chico_Tobi	Auf diesen Beitrag antworten »
Längengrößen: $\begin{eqnarray} \lambda = \frac{z_0}{h_0}<br /> <br /> \rho = \frac{s_x}{h_0}<br /> <br /> \omega = \frac{s_y}{h_0}<br /> <br /> \phi = \frac{x_1}{h_0}<br /> <br /> \psi = \frac{x_2}{h_0}<br /> <br /> \alpha = \frac{x_{ges}}{h_0}<br /> \end{eqnarray}$ Sonstige Größen: $\begin{eqnarray} \mu = \frac {v_0t_0}{h_0}<br /> <br /> \tau = \frac{t}{t_0}<br /> <br /> \varepsilon = \frac{gt_0^2}{h_0}<br /> <br /> \chi = \frac{E_0}{mgh_0} \end{eqnarray}$ Vorbereitungen: $\begin{eqnarray} <br /> \frac{x_1}{h_0} = \frac{v_y}{v_0} \\<br /> \frac{v_0x_1t_0}{h_0^2} = \frac{v_yt_0}{h_0} \\<br /> \frac{x_1}{h_0} \frac {v_0t_0}{h_0}= \frac{v_yt_0}{h_0} \\<br /> \phi \mu = \frac{v_yt_0}{h_0}<br /> \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} <br /> \frac{h_0-z_0}{h_0} = \frac{v_x}{v_0} \\<br /> (1-\lambda) = \frac{v_x}{v_0} \\<br /> (1-\lambda) v_0 = v_x \\<br /> (1-\lambda) \frac{v_0t_0}{h_0} = \frac{v_xt_0}{h_0} \\<br /> (1-\lambda)\mu = \frac{v_xt_0}{h_0} \\<br /> \end{eqnarray}$ Gleichungen: $\begin{eqnarray} <br /> \frac12 m_0v_0^2 + m_0gz_0 &&= E_0 \quad \| : (m_0gh_0) \\<br /> \frac{\mu^2}{2\varepsilon} + \lambda = \chi \quad \|-\lambda \quad \|\cdot 2\varepsilon \\<br /> \mu^2 = 2\varepsilon (\chi - \lambda)<br /> \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} <br /> z_0 + v_{0,y}t - \frac 12 gt^2 &&= 0 \quad \|: (-h_0) \\<br /> \frac12 \varepsilon \tau^2 - \phi \mu \tau - \lambda = 0 \\<br /> \tau = \frac1\varepsilon (\phi\mu + \sqrt{\phi^2\mu^2+2\varepsilon\lambda})<br /> \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} <br /> x_2 = v_xt \\<br /> \psi = (1-\lambda)\mu \tau<br /> <br /> (1-\lambda)^2 + \phi^2 = 1 \\<br /> \phi = \sqrt{2\lambda - \lambda^2}<br /> \end{eqnarray}$ Gesamtrechnung: $\begin{eqnarray} <br /> x_{ges} =& x_1 + x_2 \\<br /> \alpha =& \phi + \psi \\<br /> \alpha =&\phi + (1-\lambda)\mu\tau \\<br /> \alpha =& \phi + \frac{(1-\lambda)}\varepsilon (\phi\mu^2 + \sqrt{\phi^2\mu^4+2\varepsilon\mu^2\lambda}) \\<br /> \alpha =& \phi + \frac{(1-\lambda)}\varepsilon (2\phi\varepsilon (\chi - \lambda) + \sqrt{4\phi^2\varepsilon^2 (\chi - \lambda)^2+4\varepsilon^2 (\chi - \lambda)\lambda}) \\<br /> \alpha =& \phi + (1-\lambda) (2\phi(\chi - \lambda) + \sqrt{4\phi^2(\chi - \lambda)^2+4(\chi - \lambda)\lambda}) \\<br /> \alpha =& \phi + 2(1-\lambda) (\phi(\chi - \lambda) + \sqrt{\phi^2(\chi - \lambda)^2+(\chi - \lambda)\lambda}) \\<br /> \alpha =& \sqrt{2\lambda - \lambda^2} + 2(1-\lambda) (\sqrt{2\lambda - \lambda^2}(\chi - \lambda) + \sqrt{(2\lambda - \lambda^2)(\chi - \lambda)^2+(\chi - \lambda)\lambda}) \\<br /> \end{eqnarray}$ Diese Funktion gibt nun also die Sprungweite Alpha als Funktion der Anfangsenergie Chi (zwischen 0, keine Auslenkung, und 1, Auslenkung der Schaukel bis zur Maximalhöhe) und der Absprunghöhe Lambda an. Der Matlabplot zeichnet für ein bestimmtes Chi die Lambda-Alpha-Kurve. Das maximierende Alpha ist mit einem roten Kreis gekennzeichnet. Die verschiedenen Kurven entsprechen den Werten 0.1, 0.2, ..., 0.9, 1.0 für Chi. Leider sagt Mathematica, dass man die (zugegeben ziemlich hässliche) Funktion nicht analytisch, sondern nur numerisch maximieren kann Verfolgt man die roten Kreise, scheint eine Art quadratischer Zusammenhang zu bestehen. Wer Lust hat, darf das gerne mal nachrechnen oder mir weiterhelfen
14.05.2013, 22:09	Abakus	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, deine Größen machen einen komplizierten Eindruck. Als jemand, der gerne schaukelt, denke ich, du kannst nur am Wendepunkt der Schaukel abspringen. Dort hast du eine Geschwindigkeit und eine potentielle Energie. Die Geschwindigkeit kannst du in $\begin{eqnarray} v_x \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} v_y \end{eqnarray}$ zerlegen, mit $\begin{eqnarray} v_y \end{eqnarray}$ kriegst du raus, wie lange du fliegst (erst nach oben, dann nach unten), mit $\begin{eqnarray} v_x \end{eqnarray}$ dann, wie weit du fliegst (trenne beide Rechnungen). Das wäre meine erste Idee dazu, denke ich falsch? Abakus
15.05.2013, 01:07	Chico_Tobi	Auf diesen Beitrag antworten »
Hey Abakus, du denkst richtig, aber die Überlegungen der Schulmathematik (Parabelflug, Zerlegung in horizontale und vertikale Geschwindigkeit) sind doch sowieso schon dabei, genauso wie du es erläuterst. Wenn man nur am Wendepunkt einen Absprung möglich macht, wird das Optimierungsproblem langweilig und, naja, unintuitiv. Ein Beispiel: Wenn man die Schaukel auf maximale Auslenkung, d.h. 90 Grad, trimmt und am Wendepunkt abspringt, fliegt man senkrecht in die Luft, d.h. $\begin{eqnarray} v_x=0 \end{eqnarray}$ . Das ist extrem unintuitiv: Mehr Energie sollte einen weiteren Flug ermöglichen. Klar ist es technisch schwierig, vor dem Wendepunkt abzuspringen, aber ich nehme mal einfach an, dass das möglich ist. Dann bekommt man tatsächlich das heraus, was intuitiv ist: Die maximale Flugweite steigt mononton mit der Energie im System. Ich nehme also an, dass ich jederzeit das System Schaukel verlassen kann, und daran anschließend einen Parabelflug von meinem momentanen Aufenthaltsort und mit meiner momentanen Geschwindigkeit starten kann. Tut mir leid, dass ich meine Gleichungen nicht wirklich viel erläutert habe; hier einige kurze Erklärungen: Lateinische Buchstaben bezeichnen Dimensionsgrößen, d.h. mit Meter/Sekunde oder Kilogramm. Griechische Buchstaben bezeichnen entdimensionalisierte Größen, wie sie auch z.B. in der theoretischen Physik üblich sind. Der Parabelflug ist unter dem Punkt "Gleichungen" einsortiert: $\begin{eqnarray} z_0 + v_{0,y}t... \end{eqnarray}$ Die Größe $\begin{eqnarray} \chi \end{eqnarray}$ liegt zwischen 0 und 1 und bezeichnet den Quotienten aus Gesamtenergie der Schaukel und "maximal vernünftig mögiche" Energie, nämlich $\begin{eqnarray} m_0gh_0 \end{eqnarray}$ (Diese "maximale" Energie ist dann im System, falls die Schaukel 90 Grad maximale Auslenkung besitzt. Mehr schafft man gewöhnlicherweise nicht, ohne dass die Kette durchhängt und die Simulation zusammenbricht )
15.05.2013, 01:27	Chico_Tobi	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh Mann, wir haben beide Unsinn geredet: Wenn ich am Wendepunkt abspringe, habe ich Geschwindigkeit v=0 und falle senkrecht zu Boden ohne meine x-Koordinate zu verändern. Der Normalfall ist also, dass ich gerade nicht am Wendepunkt abspringe, sondern vorher. Sorry für den Doppelpost
16.05.2013, 20:25	Abakus	Auf diesen Beitrag antworten »
Das denke ich nicht. Wenn du vorher abspringst, kriegst du die Schaukel in den Nacken. Und im Wendepunkt springst du so ab, dass du dir an diesem Punkt selbst den Schwung zum Absprung gibst, einfach dadurch, dass du dich aus der Schaukel herausschnellst. So wäre es jedenfalls in der Praxis. Abakus
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17.05.2013, 00:02	Chico_Tobi	Auf diesen Beitrag antworten »
Hey Abakus, ein Modell kann natürlich immer nur eine Approximation an die Wirkiichkeit darstellen. Aber genau diese vereinfachte Darstellung ermöglicht es, eine erste Lösung zu finden. Diese kann natürlich im Nachfolgenden durch bessere Modelle genauer werden. Zu den Modellvereinfachungen: 1) Wie man eventuell der Zeichnung entnehmen kann, ist das schaukelnde Objekt ein Massepunkt, der auf eine Kreisbahn mit Radius $\begin{eqnarray} h_0 \end{eqnarray}$ um den Punkt $\begin{eqnarray} (0/h_0) \end{eqnarray}$ gezwungen wird (entspricht einer algebraischen Nebenbedingung). Der Massepunkt liegt also z.B. befindet sich im Ruhezustand am Punkt $\begin{eqnarray} (0/0) \end{eqnarray}$ . Es gibt in diesem Modell keine echte Schaukel, die man in den Nacken bekommen könnte. 2) Meine sehr kühne Annahme, dass der Massepunkt aus dieser Kreisbahn beim Absprung einfach ausbrechen kann, verletzt vermutlich den Impulserhaltungssatz. 3) Deine im letzten Post genannte, von praktischer Erfahrung geleitete Intuition entspricht wahrscheinlich genau obiger Tatsache: Beim Absprung entsteht eigentlich ein Impuls-Gegenimpuls-Paar, das jeweils auf Schaukel und Springer wirkt, das im Modell keine Entsprechung hat. 4) Ich würde mich freuen, wenn du ein besseres Modell vorschlägst, welches die beiden Massepunkte Schaukel und Springer in Betracht zieht. Allerdings sollte es noch lösbar sein, d.h. Output soll eine Funktion sein, welche die maximale Flugweite in Abhängigkeit von der Anfangsenergie ausgibt.
17.05.2013, 21:43	Abakus	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie ist es, wenn du eine bestimmte (erstmal konstante) Geschwindigkeit annimmst, mit der du dich aus der Schaukel herauskatapultieren kannst? Und zwar vorzugsweise tangential zur Bewegung der Schaukel und erstmal vielleicht nur im Umkehrpunkt der Schaukel. Wenn du ein realistisches Modell haben möchtest, müsste irgendwie berücksichtigt werden, dass man nach Absprung vorzugsweise auf seinen Füßen wieder landet; d.h. dein Massepunkt fliegt dann nicht ganz bis zum Grund der Schaukel. Abakus

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