Poissonverteilung - Verteilung der Zeit

09.05.2013, 19:03

Kim1985

Poissonverteilung - Verteilung der Zeit

Meine Frage:
Hallo zusammen

Ich muss da eine Aufgabe lösen, leider habe ich schon mit dem Verstehen der Aufgabe ein Problem. Vielleicht kann mir jemand die Aufgabe verständlicher erklären. Folgende Aufageb habe ich gegeben:

Pro Tag verglühen in unserer Atmosphäre im Durchschnitt 100 aus dem All stammende Körper mit einem Gewicht von über 5 Gramm. Die Anzahl der eindringenden Körper dieser Grösse ist poissonverteilt.

Aufgabe a) Bestimmen Sie die Verteilung der Zeit zwischen zwei Eintritten (inkl. Angaben des Parameters).

Meine Ideen:
Die Grundformel lautet ja $\begin{eqnarray*} P(X=k) = (\lambda ^{k} /k!)*e^{-\lambda } \end{eqnarray*}$

Muss ich jetzt zuesrt die Zeiteinheit bestimen, d.h. pro Tag habe ich 100 Körper --> 100/1440min =
0.0694444 Körper/min??

Und wie ist "zwischen zwei Eintritten" gemeint, muss ich $\begin{eqnarray*} P(1\leq X \geq 2) \end{eqnarray*}$ bestimmen?

Danke denen welche mir ein paar Tipps geben können.

Grüsse
Kim

10.05.2013, 02:48

Kasen75

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Hallo,

wenn die Anzahl der eindringenden Körper poissonverteilt sind, dann ist der Abstand zwischen zwei aufeinanderfolgenden Ereignissen exponentialverteilt.

Somit musst du nur den Wert für $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ in die Exponentialverteilung einsetzen.

x=Wartezeit bis zum nächsten Verglühen eines Körpers.

Bei 5-maligen Verglühen pro Tag ist $\begin{eqnarray*} \lambda=5 \end{eqnarray*}$

Dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Wartezeit bis zu nächsten Verglühen weniger als x Tage beträgt:

$\begin{eqnarray*} P(X \leq x)=1-e^{-5 \cdot x} \end{eqnarray*}$

Grüße.

11.05.2013, 14:55

Kim1985

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Hallo,
vielen dank für deine Antwort.
Leider hats bei mir noch nicht "click" gemacht.

Ich weiss leider nicht wie du auf die Formel $\begin{eqnarray*} P(X \leq x)=1-e^{-5 \cdot x} \end{eqnarray*}$ gekommen bist und was sie genau beschreibt? Wieso lässt du den vorderen Teil weg?

Bei diesem Beispiel habe ich ja 100-maliges Verglühen / Tag, somit wäre $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ =100?

Wie kann ich aber jetzt die Wartezeit zwischen zwei Einschläge bestimmen?

Sorry für die blöden Fragen, aber bis jetzt kannte ich nur die andere Formel.

Danke und Grüsse
Kim

11.05.2013, 15:25

Kasen75

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Stimmt. $\begin{eqnarray*} \lambda=100 \end{eqnarray*}$ Habe ich verwechselt.

Wie bin ich auf die Formel gekommen?
Ich habe ja schon geschrieben, dass der zeitliche Abstand zwischen zwei Ereignissen exponentialverteilt ist, wenn die Ereignisse an sich poissonverteilt sind.

Zitat:

Wie kann ich aber jetzt die Wartezeit zwischen zwei Einschläge bestimmen?

Im Durchschnitt wartet man 1/100 Tag bis zum nächsten Einschlag. Das steht aber schon in der Aufgabenstellung.

Ansonsten kannst du z.B. berechnen, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass man auf den nächsten Einschlag weniger als ein $\begin{eqnarray*} \frac{1}{25} \end{eqnarray*}$ Tag wartet: $\begin{eqnarray*} P(X \leq \frac{1}{25}) \end{eqnarray*}$

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