Beweis zu beschränkte Folgen und glm. Konvergenz

09.05.2013, 20:39

Elena22

Beweis zu beschränkte Folgen und glm. Konvergenz

Meine Frage:
f_n beschränkte Fkt. ; f beschränkte Funktion auf M.

z.z.: f_n->f glm. konvergent <=> sup_xinM |f_n(x)-f(x)|->0 für n->unendlich.

Meine Ideen:
Ich bin echt ratlos :-(

ich habe versucht die Definition der glm. Konvergenz in Verbindung mit der sup Bedingung (s.o.) zu bringen, aber ich komme da zu keinem sinnvollen Ergebnis...

ich würde mich so sehr über Hilfe freuen!

LG

09.05.2013, 21:17

Che Netzer

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RE: Beweis zu beschränkte Folgen und glm. Konvergenz
Schreib mal die Definition von gleichmäßiger Konvergenz auf.
Und außerdem die der "normalen" Konvergenz des Supremums.

Am besten wäre es, wenn du jeweils " $\begin{eqnarray*} \leq\varepsilon \end{eqnarray*}$ " statt " $\begin{eqnarray*} <\varepsilon \end{eqnarray*}$ " benutzt.

09.05.2013, 21:34

Elena22

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RE: Beweis zu beschränkte Folgen und glm. Konvergenz
Also gut :
1) eine Fkt. Folge konvergiert glm. auf M gegen f wenn:
$\begin{eqnarray*} \forall \epsilon >0 \exists n_0 \forall n \geq n_0 \forall x \in M : |f_n(x) -f(x)|<\epsilon \end{eqnarray*}$

Nun --für die SUP definition hab ich jetzt nix richtiges offizielles aus der Vorlesung, aber ist es nicht so, dass dann ist eben es doch das SUP der Menge
$\begin{eqnarray*} |f_n(x)-f(x)| \end{eqnarray*}$
?!?

Die kann ja nur gegen Null gehen, wenn f_n(x) = f(x) für eben alle x in M, da es ja ein SUP ist, oder haue ich jetzt alles durcheinander?!?!?

09.05.2013, 21:38

Che Netzer

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RE: Beweis zu beschränkte Folgen und glm. Konvergenz

Zitat:

Original von Elena22
1) eine Fkt. Folge konvergiert glm. auf M gegen f wenn:
$\begin{eqnarray*} \forall \epsilon >0 \exists n_0 \forall n \geq n_0 \forall x \in M : |f_n(x) -f(x)|{\color{red}\leq}\epsilon \end{eqnarray*}$

So wird es in diesem Fall angenehmer.
Hier kannst du schonmal versuchen, einen äquivalenten Ausdruck für
$\begin{eqnarray*} \forall x\in M:\lvert f_n(x)-f(x)\rvert\leq\varepsilon \end{eqnarray*}$
zu finden.

Für die Konvergenz des Supremums kannst du die ganz normale Definition der Folgenkonvergenz benutzen.
Statt $\begin{eqnarray*} \lvert a_n-a\rvert \end{eqnarray*}$ steht dann hier
$\begin{eqnarray*} \left\lvert\sup_{x\in M}\lvert f_n(x)-f(x)\rvert-0\right\rvert=\sup_{x\in M}\lvert f_n(x)-f(x)\rvert\,. \end{eqnarray*}$

09.05.2013, 21:52

Elena22

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RE: Beweis zu beschränkte Folgen und glm. Konvergenz
Das sagst du so...

für alle x: |f_n(x)-f(x)|<e umschreiben?!?
geht dann |f_n(x)-f(x)| -> 0 ?!?

09.05.2013, 21:57

Che Netzer

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RE: Beweis zu beschränkte Folgen und glm. Konvergenz
Nein, mit Grenzübergängen hat das nichts zu tun.
Du sollst nur
$\begin{eqnarray*} \forall x\in M:\lvert f_n(x)-f(x)\rvert\leq\varepsilon \end{eqnarray*}$
für festes $\begin{eqnarray*} \varepsilon>0 \end{eqnarray*}$ und festes $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ umformulieren.

Wenn dir dazu die Idee fehlt: Beachte, worauf wir hinaus wollen.

09.05.2013, 22:01

Elena22

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RE: Beweis zu beschränkte Folgen und glm. Konvergenz
wenn der Betrag <= e sein soll, dann muss auch das SUP des Betrages <=e sein

aber das wäre - selbst wenn es stimmen sollte - ja nur eine Richtung... :-(

bin ich dumm :-(((

09.05.2013, 22:22

Che Netzer

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RE: Beweis zu beschränkte Folgen und glm. Konvergenz

Zitat:

Original von Elena22
wenn der Betrag <= e sein soll, dann muss auch das SUP des Betrages <=e sein

Ja,
$\begin{eqnarray*} \forall x\in M:\lvert f_n(x)-f(x)\rvert\leq\varepsilon \end{eqnarray*}$
ist äquivalent zu
$\begin{eqnarray*} \sup_{x\in M}\lvert f_n(x)-f(x)\rvert\leq\varepsilon\,. \end{eqnarray*}$
Mach dir das ggf. nochmal klar.

09.05.2013, 22:32

Elena22

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RE: Beweis zu beschränkte Folgen und glm. Konvergenz
Nun, das ergibt sich ein wenig schon darüber, was ich eben zeigen sollte... Da hast du ganz recht!

Gibt es eine Möglichkeit, dies noch ausführlicher zu beschreiben, zu zeigen - dass dies so ist -weil so ist das ja mehr oder weniger der Beweis ein Aufschreiben dessen, was zu zeigen ist...

Ich habe genau dass bereits versucht, aber ich komme da nicht zu einer ausfühlicheren Variante traurig

(danke schonmal!)

09.05.2013, 22:34

Che Netzer

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RE: Beweis zu beschränkte Folgen und glm. Konvergenz
Formal lässt sich da nicht viel mehr aufschreiben.
Eher etwas wie "Wenn die Ungleichung für alle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ gilt, dann insbesondere auch für das Supremum" und "Wenn sie für das Supremum über alle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ gilt, dann insbesondere auch für jedes einzelne $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ".

09.05.2013, 22:39

Elena22

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RE: Beweis zu beschränkte Folgen und glm. Konvergenz
Seh ich das nur so, oder ist das eher eine etwas komische Aufgabe :-( wenn man quasi nicht viel mehr aufschreiben kann, als das, was zu zeigen ist :-( ???

09.05.2013, 22:40

Che Netzer

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RE: Beweis zu beschränkte Folgen und glm. Konvergenz
Die dürfte hauptsächlich dazu gedacht sein, um diese Aussage kennenzulernen. [attach]24103[/attach]

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