Arzela Ascoli Pathologien |
| 10.05.2013, 12:00 | 12345678 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| Arzela Ascoli Pathologien Hallo! Die Aufgabe ist, zu zeigen dass jede der Vorraussetzungen im Satz von Arzela-Ascoli notwendig ist. Da es glaub ich verschiedene Versionen von dem Satz gibt, schreibe ich unsere mal dazu: Sei I ein beschränktes Intervall der reellen Zahlen und fm eine Folge von Funktionen von I in den K^n so dass {fm mit m aus N} gleichmäßig gleichgradig stetig ist und so, dass (fm(x)) für beliebiges x beschränkte Folge mit Index m ist. Dann hat fm eine gleichmäßig konvergente Teilfolge. Also gibts die Vorraussetzungen: i) Die Folge ist punktweise beschränkt. ii) Die Folge ist gleichmäßig gleichgradig stetig. iii) Die Flieder der Folge sind Funktionen auf einem beschränkten Intervall. Meine Ideen: Wir sollen also drei Gegenbeispiele angeben, wo je genau zwei der drei Eigenschaften erfüllt sind. Ich hab mir solche Funktionen überlegt, bin jetzt aber nicht sicher ob sie stimmen: 1. Nur i) nicht erfüllt: Wähle fm = m auf [0,1], fm kann aber keine konv. Teilfolge haben 2. Nur ii) nicht erfüllt:fm = x^m auf [0,1], die Grenzfunktion ist nichteinmal stetig. 3.Nur iii) nicht erfüllt: da fällt mir kein Beispiel ein. Stimmen 1. und 2.? Und habt ihr nen Tipp für 3.? |
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| 10.05.2013, 16:07 | 3509732509 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| RE: Arzela Ascoli Pathologien Ich bezwefile gerade sehr stark, dass Beispiel 1 gleichgradig stetig ist. Zu 2 wäre es sauberer zu sagen der punktweise Grenzwert ist nicht stetig. Die Grenzfunktion bzgl. der Supremumsnorm existiert ja nicht. |
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| 10.05.2013, 17:50 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| RE: Arzela Ascoli Pathologien Zu 1: Noch (gleichgradig) stetiger geht es kaum. Zu 3: Betrachte eine Familie von stetigen beschränkten Funktionen auf , die sich nur durch Translation unterscheiden. Die erfüllen dann automatisch (i) und (ii). |
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| 10.05.2013, 18:40 | 12345678 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
ok, danke, also stimmen die Beispiele zu i) und ii)? und wäre dann für iii) die folge fm=m auf ganz R definiert eine Folge, die das Gewünschte erfüllt? Weil jede Funktion daraus ist ja durch m beschränkt und als konstante Funktion stetig. Aber hab ich hier nicht das Problem, dass zwar jede einzelne Funktion aus fm beschränkt ist, aber ich wenn ich ein festes x wähle und m gegen unendlich gehen lasse den Grenzwert "unendlich" erhalte? |
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| 10.05.2013, 18:42 | 12345678 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
ahh, ich glaub ich hab das falsch verstanden, mit einer Familie beschränkter Funktionen ist wahrsch. gemeint, dass es EINE schranke für ALLE funktionen gibt oder? |
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| 10.05.2013, 18:49 | 12345678 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
so also jetzt komme ich trotzdem nicht weiter: denn da sich die gesuchte Funktionenfolge fm nur durch Translation unterscheiden soll, muss sie ja so ausschauen: fm = g + t(m) wobei g stetig ist, und t die von m abhängige Translation. Aber t(m) muss jetzt beschränkt sein, damit's noch klappen kann, aber wenn t(m) beschränkt ist (ich denke da an 1/n² oder ähnliches) dann gäbs ja wieder eine konvergente Teilfolge (bzw. in dem Beispiel wäre ja sogar fm selbst konvergent gegen g + lim(1/n²), oder? |
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| 10.05.2013, 18:57 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Wähle stetig und beschränkt und setze . |
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| 10.05.2013, 19:00 | 12345678 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
ah ok, also eine Translation in waagrechter Richtung oder? also bspw. fm = sin(x-m)? |
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| 10.05.2013, 19:04 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Zum Beispiel. Allerdings hat diese Familie von Funktionen durchaus eine konvergente Teilfolge. |
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| 10.05.2013, 19:13 | 12345678 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
ok, das sie eine konvergente Teilfolge hat leuchtet mir ein, aber wie würde man das zeigen? fm=arctan(x-m) müsste gehen, da arctan ja streng monoton und beschränkt ist oder? |
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| 10.05.2013, 19:16 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Mit dem Arcustangens klappt es. Dass das vorige Beispiel eine konvergente Teilfolge hat, folgt daraus, dass für jedes dicht in liegt. |
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| 10.05.2013, 19:24 | 12345678 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
cool, danke, kann ich stattdessen jede streng monoton fallende oder steigende beschränkte Funktion aus R nehmen?echt, das liegt dicht in R? das hätte ich nicht vermutet, das heißt bspw. ich kann beliebig nah an jede Zahl aus R kommen mittels der Linearkombination m + n * (Wurzel 2) für geeignete m,n aus Z? Ist das schwer zu beweisen? Ist ein recht verblüffendes Resultat finde ich. |
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| 10.05.2013, 20:29 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Wenn sie stetig ist.
Ja.
Weiß ich gerade nicht – ich habe den Beweis nie gesehen und gerade auch keine Lust, ihn mir zu überlegen... |
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| 10.05.2013, 20:50 | 12345678 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
ok, danke für deine hilfe 
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| 12.05.2013, 15:44 | 12345678 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Noch eine Frage dazu: Wieso konvergiert die Folge fm=arctan(x-m) nicht gegen -pi/2? |
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| 12.05.2013, 15:46 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Tut sie auch, aber nur punktweise 
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| 12.05.2013, 15:52 | 12345678 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
ok, aber das bedeutet dass das lim sup{|fn(x)+pi/2|x aus R} >0 zu zeigen ist und das ist der fall da lim sup{|fn(x)+pi/2|x aus R} = pi > 0 oder? |
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| 12.05.2013, 15:59 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Genau. Da dieses Supremum für alle konstant ist und die punktweise Grenzfunktion existiert, kann es keine gleichmäßig konvergente Teilfolge geben. |
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| 12.05.2013, 16:03 | 12345678 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Wieso ist für das Argument wichtig, dass die punktweise Grenzfunktion existiert? Weil ich sonst nicht -pi/2 hätte einsetzen können? |
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| 12.05.2013, 16:05 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Gäbe es eine gleichmäßig konvergente Teilfolge, dann müsste deren Grenzwert gerade die punktweise Grenzfunktion sein. Hätten wir die nicht, wüssten wir nicht, welches Supremum gegen Null gehen sollte. |
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| 12.05.2013, 16:06 | 12345678 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
danke
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