Grenzwert einer Funktionenfolge

10.05.2013, 13:49

Funktionenfolge

Grenzwert einer Funktionenfolge

Meine Frage:
Hallo an alle,

ich möchte den Grenzwert der Funktionenfolge von
$\begin{eqnarray*} \frac{(n^2+2x^2)cos(x\sqrt{x^2+n^2})}{n\sqrt{x^2+n^2}} \end{eqnarray*}$
berechnen. Dabei ist $\begin{eqnarray*} x\in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Zunächst forme ich das Ganze etwas um:
$\begin{eqnarray*} \frac{n cos(x\sqrt{x^2+n^2}+\frac{2}{n} x^2cos(x\sqrt{x^2+n^2})}{\sqrt{x^2+n^2}} \end{eqnarray*}$

Für $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ geht der Ausdruck gegen $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ . Für $\begin{eqnarray*} x \ne 0 \end{eqnarray*}$ weiß ich nicht weiter. Müsste es nicht trotzdem ebenfalls gegen $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ laufen? Der problematische Teil ist $\begin{eqnarray*} n* cos(x\sqrt{x^2+n^2} \end{eqnarray*}$

Könnt ihr mir weiterhelfen?

10.05.2013, 14:09

HAL 9000

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Zitat:

Original von Funktionenfolge
Für $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ geht der Ausdruck gegen $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ .

Wohl eher gegen 1.

10.05.2013, 14:17

Funktionenfolge

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RE: Grenzwert einer Funktionenfolge
Tut mir leid, da ist ein Fehler in der Umformung. Es müsste lauten:
$\begin{eqnarray*} \frac{n*cos(x\sqrt{x^2+n^2})+\frac{2}{n} x^2cos(x\sqrt{x^2+n^2})}{\sqrt{x^2+n^2}} \end{eqnarray*}$

Und du hast natürlich recht, der Term konvergiert gegen 0. Aber der schwerere Fall ist $\begin{eqnarray*} x \ne 0 \end{eqnarray*}$ . Hast du da eine Idee?

10.05.2013, 14:27

HAL 9000

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RE: Grenzwert einer Funktionenfolge
Für ganzzahlige Vielfache von $\begin{eqnarray*} 2\pi \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} x=2k\pi \end{eqnarray*}$ , konvergiert die Funktionenfolge ebenfalls gegen 1.

Für alle anderen $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ konvergiert sie gar nicht, d.h., es gibt keine Grenzfunktion!!!

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