Gruppe ist Produkt aus Normalteiler und Untergruppe

10.05.2013, 16:04	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
Gruppe ist Produkt aus Normalteiler und Untergruppe Meine Frage: Hallo Leute, ich möchte gerne folgendes zeigen: Sei G eine Gruppe und U,H Untergrppen von G. Sein nun H ein Normalteiler in G. Zeigen Sie, dass dann UH eine Untergruppe von G ist. Ich weiß bereits, dass wen UH = HU gelten würde, dass dann UH eine Untergruppe ist. Jetzt dachte ich, ich kann ja einfach UH =HU zu UHU^-1 umschreiben und dann steht da ja schon die Normalteiler Eigenschaft und ich wäre fertig. Wirklich so einfach? Worauf muss ich hier aufpassen? Kann ich mir die Menge $\begin{eqnarray} UHU^{-1} = \left\{ uhu^{-1} \|u\in U, h\in H\right\} \end{eqnarray}$ vorstellen? Meine Ideen: Danke für die Hilfe!!!
11.05.2013, 11:27	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gruppe ist Produkt aus Normalteiler und Untergruppe Also für mich mach das immernoch Sinn. Wenn $\begin{eqnarray} H \end{eqnarray}$ ein Normalteiler in $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ ist, dann gilt ja: $\begin{eqnarray} gHg^{-1} = H \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} G \in G \end{eqnarray}$ insbesondere dann doch für die $\begin{eqnarray} u \in U \leq G \end{eqnarray}$ . Also: $\begin{eqnarray} uHu^{-1} = H \end{eqnarray}$ ist für alle $\begin{eqnarray} u \in U \end{eqnarray}$ erfüllt. Dies ist doch gleich bedeutet, mit der Aussage: $\begin{eqnarray} UHU^{-1} = H \end{eqnarray}$ oder??? dann hätte ich sofort: $\begin{eqnarray} UH=HU \end{eqnarray}$ und dann ist sofort $\begin{eqnarray} UH \leq G \end{eqnarray}$ kann sich das nochmal wer ansehen bitte?? Würde mich freuen. Danke
11.05.2013, 23:26	RavenOnJ	Auf diesen Beitrag antworten »
So wie $\begin{eqnarray} UH := \{uh\|u\in U, h\in H\} \end{eqnarray}$ definiert ist, wäre analog $\begin{eqnarray} UHU^{-1} = UHU := \{u_1 h u_2\|u_1,u_2\in U, h\in H\}\not= H \end{eqnarray}$ was nicht zur definierenden Eigenschaft eines Normalteilers führt. Du solltest also bei $\begin{eqnarray} uH=Hu,\forall u\in U \end{eqnarray}$ bleiben. Dies kann man aber erweitern zu $\begin{eqnarray} UH= HU \end{eqnarray}$ , da die Mengen links und rechts vom Gleichheitszeichen dieselben sind wegen der Normalteilereigenschaft von $\begin{eqnarray} H \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} UH \end{eqnarray}$ ist genau dann Untergruppe von $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ , wenn die Implikation $\begin{eqnarray} a,b\in UH\Rightarrow ab^{-1}\in UH \end{eqnarray}$ gilt. Es gilt außerdem $\begin{eqnarray} b\in UH\Rightarrow b^{-1}\in HU \end{eqnarray}$ . Man kann also schreiben $\begin{eqnarray} ab^{-1}\in UH^2U=UHU=U^2H=UH \end{eqnarray}$ Die zweite Gleichheit wegen $\begin{eqnarray} H\triangleleft G \end{eqnarray}$ .
12.05.2013, 10:24	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
Hey Vielen Dank für deine Anwort! Meine eigentliche Idee war ja ohne dieses Untergruppenkriterium zu arbeiten sondern nur zu zeigen, dass $\begin{eqnarray} UH = HU \end{eqnarray}$ ist. Oder hast du genau das gemacht? Ich kann es irgendwie nicht ganz nachvollziehen, ob der zweite Teil die Begründung für $\begin{eqnarray} UH = HU \end{eqnarray}$ ist?? Jedenfalls habe ich noch mal versucht zu zeigen, dass: $\begin{eqnarray} UH = \left\{ uh \| u\in U , h\in H\right\} = \left\{ hu \| u\in U , h\in H\right\} = HU \end{eqnarray}$ gilt. Beweis: $\begin{eqnarray} "\subseteq" \end{eqnarray}$ Sei $\begin{eqnarray} uh \in UH \end{eqnarray}$ . Da $\begin{eqnarray} H \vartriangleleft G \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} xhx^{-1} \in H \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} x \in G \end{eqnarray}$ und so natürlich auch: $\begin{eqnarray} x^{-1}hx \in H \end{eqnarray}$ dann ist: $\begin{eqnarray} u(x^{-1}hx) \in UH \end{eqnarray}$ . wähle $\begin{eqnarray} x=u \end{eqnarray}$ dann folgt: $\begin{eqnarray} u(x^{-1}hx) = u(u^{-1}hu) = (uu^{-1})hu = hu \in HU \end{eqnarray}$ also ist $\begin{eqnarray} UH \subseteq HU \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} "\supseteq " \end{eqnarray}$ Sei $\begin{eqnarray} hu \in HU \end{eqnarray}$ Da $\begin{eqnarray} H \vartriangleleft G \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} xhx^{-1} \in H \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} x \in G \end{eqnarray}$ dann ist: $\begin{eqnarray} (xhx^{-1})u \in HU \end{eqnarray}$ . wähle $\begin{eqnarray} x=u \end{eqnarray}$ dann folgt: $\begin{eqnarray} (xhx^{-1})u = (uhu^{-1})u = uh(u^{-1}u) = uh \in UH \end{eqnarray}$ also ist: $\begin{eqnarray} HU \supseteq UH \end{eqnarray}$ Insgesamt: $\begin{eqnarray} UH = HU \end{eqnarray}$ damit ist UH eine Untergruppe. Das dies wirklich ausreicht, habe ich schon mal auf einem älteren Übungsblatt gezeigt Kann sich das noch wer ansehen?? DANKE!!!

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