Simplex-Verfahren, Restriktionen aufstellen

10.05.2013, 22:37

annna

Simplex-Verfahren, Restriktionen aufstellen

Hi,

ich bräuchte Hilfe bei einer Restriktion zu folgender Aufgabenstellung:

Eine Tankstelle bietet Autowäschen mit zwei verschiedenen Reinigungsmitteln an, die in
Eigenproduktion hergestellt werden. Das sind zum einen der Typ „Sensitive“ und zum
anderen der Typ „Super-rein“. Da die Wäschen mit dem Mittel „Super-rein“ teurer verkauft
werden können, kann die Tankstelle mit diesem Reinigungsmittel einen höheren Erlös
erwirtschaften: Pro 10 Liter können mit dem Typ "Super-rein" 80€ erwirtschaftet werden, mit
dem Mittel „Sensitive“ sind es dagegen nur 60€ pro 10 Liter.
Allerdings hat die Tankstelle eine Umweltzertifizierung, und wenn sie diese nicht verlieren
möchte, muss sie mehr Wäschen mit dem Reinigungsmittel „Sensitive“ verkaufen, als mit
dem Mittel „Super-rein“. Um diese Bedingung einzuhalten, hat der Tankstellenbetreiber
beschlossen, stets mindestens so viel vom Mittel „Sensitive“ herzustellen wie vom Mittel
„Super-rein“.
Zwei Zusatzstoffe gehen in die beiden Reinigungsmittel ein (Zusatz A und B). Diese Woche
muss die Tankstelle aufgrund einer ausgefallenen Lieferung mit den Resten der
Zusatzstoffe, die noch im Lager sind, auskommen. Vom Zusatzstoff A sind zu Beginn der
Woche noch 40 Liter auf Lager und vom Zusatz B sind es noch 28 Liter. In 10 Liter des
Reinigungsmittels „Sensitive“ gehen 2 Liter vom Zusatzstoff A und 1 Liter vom Zusatzstoff B
ein. In 10 Liter des Reinigungsmittels „Super-rein“ gehen 5 Liter vom Zusatzstoff A und 4
Liter vom Zusatzstoff B ein. (Der dritte Bestandteil der Reinigungsmittel ist eine Seifenlauge,
von der stets eine ausreichende Menge zur Verfügung steht.)
Für die nächste Woche hat sich außerdem schon ein Großkunde angemeldet, der seinen
gesamten Fuhrpark waschen lassen möchte. Da dieser Kunde das Reinigungsmittel „Superrein“ wünscht, müssen davon mindestens 40 Liter hergestellt werden.

Wie drücke ich aus, dass von dem einen Mittel mindestens genauso viel produziert werden soll wie von dem anderen? Ich hatte an x2-x1>=0 gedacht, aber das ist nicht gestattet, oder? Wäre über jede Hilfe dankbar, ich zerbreche mir schon den halben Tag den Kopf drüber... unglücklich

10.05.2013, 23:20

Kasen75

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Hallo,

du schreibst:

Zitat:

Ich hatte an x2-x1>=0 gedacht, aber das ist nicht gestattet, oder?

Das ist schon gestattet. Sieht auch richtig aus, wenn von $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ mindestens so viel verkauft werden soll, wie von $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ .

Um ein Gleichheitszeichen schreiben zu können brauchst du natürlich für diese Restriktion noch eine Überschussvariable und eine künstliche Variable.

Grüße.

11.05.2013, 00:17

annna

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Aber wenn ich das grafisch darstellen sollte, hätte ich ja nur den Nullpunkt und keine Gerade, ist das zulässig? Das heißt, ich muss nur noch eine Schlupfvariable einfügen und kann dann das Simplexverfahren anwenden?

11.05.2013, 00:25

Kasen75

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Zitat:

Aber wenn ich das grafisch darstellen sollte, hätte ich ja nur den Nullpunkt und keine Gerade, ist das zulässig?

Du hast eine Gerade, die durch den Nullpunkt geht. Löse doch mal die Ungleichung nach $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ auf.

Zitat:

Das heißt, ich muss nur noch eine Schlupfvariable einfügen und kann dann das Simplexverfahren anwenden?

Und noch zusätzlich eine künstliche Variable.

12.05.2013, 17:55

annna

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Warum eine Gerade? Das ist mir nicht ganz klar...

12.05.2013, 19:22

Kasen75

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Wenn du diese Restriktion $\begin{eqnarray*} x_2-x_1>=0 \end{eqnarray*}$ umstellst, steht da: $\begin{eqnarray*} x_2 \geq x_1 \end{eqnarray*}$

Das ist die Winkelhalbierende im ersten Quadranten, da $\begin{eqnarray*} x_1,x_2 \geq 0 \end{eqnarray*}$ .

Zeichne der Einfachheit halber $\begin{eqnarray*} y=x \end{eqnarray*}$ in ein Koordinatensystem. Vielleicht wird es dann klarer.

Die Restriktion ergibt dann die Fläche oberhalb der Winkelhalbierenden.

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