Integralformel von Cauchy und Potenzreihenentwicklung

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Skolja Auf diesen Beitrag antworten »
Integralformel von Cauchy und Potenzreihenentwicklung
Hallo ihr Lieben,
neue Woche neue Aufgaben Augenzwinkern

Und wieder mal bräuchte ich eure Hilfe...
So zu 1)

Meine Überlegung:
Das Elfeck wird ja quasi von dem Einheitskreis eingeschlossen.
Wenn ich mir jetzt ein Kurve nehme, die den Einheitskreis und das Elfeck umfasst, so ist die geschlossen und es gilt ja laut Satz von Cauchy:



und der Einheitskreis sowie das Elfeck ,
so dass

So wenn ich den Einheitskreis nehme dann hab ich ja ( da ):



Mit mit .


So dann ist ja die Cauchy-formel:



Somit kriege ich ja



Damit wäre ja dann mein Integral über das Elfeck auch Null richtig verwirrt
So da hätte ich mal ne wahrscheinlich sehr doofe Frage: Könnte ich das nicht alleine auf Grund der Tatsache, dass das Elfeck eine geschlossenen Kurve und f(z) holomorph ist, darauf schließen dass das Integral Null sein muss?
Weil das ist doch die Aussage von dem Integralsatz von Cauchy oder verwirrt

So zu 2.)
Für die Entwicklung in einer Potenzreihe gilt:



Wobei

So wenn ich das jetzt versuch wie oben zu lösen dann komme ich auf:



wobei und dann hab ich ja das Problem dass ich durch Null teilen müsste verwirrt

Im Tutorium hatten wir in diesem Fall dann benutzt:



Wobei die n-te Ableitung ist.

so also wäre meine Potenzreihe dann doch :



So kann ich die jetzt noch irgendwie präziser ausdrükcken verwirrt
und wie bestimme ich daraus den Konvergenzradius?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integralformel von Cauchy und Potenzreihenentwicklung
Zitat:
Original von Skolja
So da hätte ich mal ne wahrscheinlich sehr doofe Frage: Könnte ich das nicht alleine auf Grund der Tatsache, dass das Elfeck eine geschlossenen Kurve und f(z) holomorph ist, darauf schließen dass das Integral Null sein muss?

Das genügt vollkommen.

Diese Formel hier stimmt übrigens nicht:
Zitat:

Jedenfalls solltest du für die Potenzreihenentwicklung lieber an geometrische Reihen denken.
 
 
Skolja Auf diesen Beitrag antworten »

mmh okay geometrische Reihe ist ja so definiert, dass ich eine Folge habe für deren Folgenglieder gilt:



so das i-te Glied ist dann definiert als:



So damit ist die geometrische Reihe dann:



Nur wie hilft mir das bei der Entwicklung der Funktion weiter verwirrt
Wenn ich die Funktion mit der geometrischen Reihe entwickle dann müsste doch gelten:



mmh irgendwie weis ich nicht so ganz wie ich das machen soll...

Im Tutorium haben wir das auch irgendwie mit der Integralformel für gemacht verwirrt

Kannst du mir vielleich genauer sagen wie man auf die Potenzreihenentwicklung

LG
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Skolja
Im Tutorium haben wir das auch irgendwie mit der Integralformel für gemacht verwirrt

Um welche Funktion ging es denn da?

Ansonsten schreib mal die Formel zur Berechnung des Wertes einer geometrischen Reihe auf.
Skolja Auf diesen Beitrag antworten »

mmh im Tutorium haben wir das so hergeleitet:

f(z) ist holomorph dann gibt es

So :



So die Terme nach verschwinden bei einer Integration über eine geschlossenen Kurve.



weil

Dann haben wir ohne weiter Erklärung die allgemeine Form angegeben:



Was meinst du denn mit der "Formel zur Berechnung des Wertes einer geometrischen Reihe"?
Pratialsumme verwirrt
Das wär ja dann in Abhängigkeit von q:





und:



Meintest du dass?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Skolja

So ungefähr.
Nur solltest du auf die Summationsgrenzen mehr achtgeben.

Insbesondere ist z.B. , wobei diese Potenzreihe dann den Konvergenzradius Eins hat.

Nun führe mal eine Partialbruchzerlegung für durch.
Skolja Auf diesen Beitrag antworten »

mmmh kann man Partialbruch Zerlegung genauso wie im reelen machen?

Dann hätte ich:




Mit

wäre dann

Nur klappt das ja nur wenn richtig?

So wenn ich mir jetzt den zweiten term angucke:

wobei



und für den 3.Term:



und somit



So und das dann noch zusammenfassen nehme ich an?

oder hab ich das jetzt total falsch verstanden verwirrt

und gilt die Form

jetzt eigentlich nur für ?

Wenn ja voher weis ich denn, dass das für die Terme von f(z) gilt verwirrt
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Skolja
So wenn ich mir jetzt den zweiten term angucke:

wobei


Hier beachte lieber .

Für den dritten Term betrachte .

Übrigens habe ich nach der Partialbruchzerlegung bei WolframAlpha ein anderes Vorzeichen herausbekommen.
Hast du beachtet, dass bei ein Minus im Zähler steht?
Skolja Auf diesen Beitrag antworten »

Ok mit dem Vorzeichen werde ich mir nachher nochmal angucken und mit deinem
Tipp das ganze hoffentlich lösen können...
Muss jetzt erstmal weg, komme später nochmal darauf zurück smile
Vielen dank soweit erstmal!
Bis später!
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Um dir noch etwas mit auf den Weg zu geben:
Ja, diese Darstellung gilt nur lokal, wir wissen nicht, dass sie für alle gälte.
Tut sie auch nicht. Immerhin soll ja der Konvergenzradius der Reihendarstellung bestimmt werden.

Dazu entwickeln wir die Funktion um Null in eine Potenzreihe mithilfe der geometrischen Summenformel. Anschließend sehen wir nach, wo diese konvergiert.
Bzw. du machst das alles smile
Skolja Auf diesen Beitrag antworten »

Okay unter Beachtung des Vorzeichen hab ich dann:


So erster Term ist ja erledigt.

zweiter Term:


dritter Term:
Da sagt mir Wolfram alpha:


Wobei auch wieder die Bedingung gilt, dass der Betrag von (1-z) kleiner als 1 ist.

Nur wie komme ich ohne wolfram alpha auf diese Summe verwirrt
Ich meine die Summe über könnte ich nachvollziehen...
Ich denke mal der Bruch für z kürzt sich durch das 1/2 irgendwie weg verwirrt

So wenn ich dann alles zusammenfasse habe ich:



Stimmt das? smile

Wobei ich nochmal umformen kann...

und meinst du mit Summenformel das hier:



Wenn ja verstehe ich grad nicht so ganz wo der Entwicklungspunkt zum tragen kommt bei der ganzen Sache...

Naja werd morgen nach mal ausgeschlafen rüber gucken und du kannst mich ja wissen lassen ob du diese Formel meinst smile

LG smile
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Skolja
Da sagt mir Wolfram alpha:


Das ist nicht schön. Setz lieber .
Skolja Auf diesen Beitrag antworten »

okay dann


Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Da ist irgendetwas ganz schön schiefgelaufen...
Irgendwo müsste zu finden sein.
Skolja Auf diesen Beitrag antworten »

oh klar ich hab das bei
einfach aus der Potenz rausgezogen Ups
Das geht natürlich nicht.


Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Nun ist dir noch ein Vorfaktor abhandengekommen.
Skolja Auf diesen Beitrag antworten »

oh man wohl doch noch nicht ganz wach...
ok damit hab ich die Potenzreihe und daraus kann ich dann den Konvergenzradius bestimmen...
Aber kann ich irgendwie noch begründen warum ich immer von ausgehen kann verwirrt
Das hab ich ehrlich gesagt noch nicht so ganz verstanden...
Ich mein gut der Konvergenzradius der resultierenden Potenzreihe ist 1...
Aber kann ich damit im nachhinein begründen, dass ?
kommt mir komisch vor...
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Skolja
Aber kann ich irgendwie noch begründen warum ich immer von ausgehen kann verwirrt

Du musst nicht unbedingt fordern.
Bei der Entwicklung in Potenzreihen soll ohnehin in einer genügend kleinen Umgebung um den Entwicklungspunkt liegen.

Wenn du ganz "Ana1-mäßig" eine Taylor-Reihe bildest, schreibst du die ja auch erst auf und siehst dann noch, wo die überhaupt konvergiert.
Skolja Auf diesen Beitrag antworten »

ah okay smile
also könnte man eigentlich sage
Wobei eine Scheibe mit Radius quasi die Umgebung um den Entwicklungspunkt ist in der die Funktion als Potenzreihe dargestellt wird?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn, dann mit Beträgen.
Eigentlich würde ich aber gar nichts dazu sagen.
Einfach nur, dass die Potenzreihenentwicklung von um den Entwicklungspunkt Null die angegebene Form hat.
Skolja Auf diesen Beitrag antworten »

jap beträge^^
ne ging nur generell um das Verständnis warum das mit dem funktioniert.
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