Matrix Verständnisproblem Drehung und Streckung

10.05.2013, 23:17

Glücksritter

Matrix Verständnisproblem Drehung und Streckung

Meine Frage:
Ich lese mich grade in das Thema Basiswechsel ein und habe einige Verständnisprobleme.

Mit der Drehung das habe ich glaube ich verstanden. Ich drehe die Basis und der Vektor bleibt unberührt. Durch Multiplikation von Drehmatrix und Vektor erhalte ich die Komponenten des Vektors in der neuen Basis.

Jetzt zu meinem Problem: die Streckung.

Angenommen ich habe eine STreckmatrix und wende sie auf einen Belibigen Vektor an. Beispiel:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 6 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Was ist da passiert?
Die Matrix gibt doch die Streckung der Basisvektoren an, oder nicht?
Das heißt e1 bleibt gleich und e2 wird verdoppelt.
Wende ich meine Matrix auf einen Vektor an, bekomme ich als Ergebnis einen Vektor dessen zweite Komponente verdoppelt ist.

Müsste es nicht eigentlich so sein, dass die zweite komponente jetzt 1,5 ist? Weil ich wollte ja nur die Basis Strecken, den Vektor aber erhalten. Wo liegt mein Denkfehler.

Noch eine Frage zum Schluss was Bezeichnungen betrifft.
Ich nenne die Matrix S und den Vektor X. Das Ergebnis sei X'.
Ist es dann richtig zu sagen: "X' ist das Bild von X unter S" ?

Schonmal vielen dank für ein wenig Hilfe smile

Meine Ideen:
.

11.05.2013, 08:44

lgrizu

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RE: Matrix Verständnisproblem Drehung und Streckung

Zitat:

Original von Glücksritter
Die Matrix gibt doch die Streckung der Basisvektoren an, oder nicht?
Das heißt e1 bleibt gleich und e2 wird verdoppelt.
Wende ich meine Matrix auf einen Vektor an, bekomme ich als Ergebnis einen Vektor dessen zweite Komponente verdoppelt ist.

Bei deiner abbildung handelt es sich nicht um eine Streckung, eine (zentrische) Streckung um den Faktor k hat eine Abbildungsmatrix der Form $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}k &0 \\0 & k \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Glücksritter
Müsste es nicht eigentlich so sein, dass die zweite komponente jetzt 1,5 ist? Weil ich wollte ja nur die Basis Strecken, den Vektor aber erhalten. Wo liegt mein Denkfehler.

DAs verstehe ich nicht, "die Basis strecken, aber den Vektor erhaltem", wie soll das denn funktionieren, dass eine Abbildung so konstruiert ist, dass sie nur die (von dir gewählten) Basisvektoren streckt und alle anderen bei behält? Prinzipiell kann jeder Vektor Bestandteil einer Basis des Vektorraums sein..

Zitat:

Original von Glücksritter
Noch eine Frage zum Schluss was Bezeichnungen betrifft.
Ich nenne die Matrix S und den Vektor X. Das Ergebnis sei X'.
Ist es dann richtig zu sagen: "X' ist das Bild von X unter S" ?

.

Nicht ganz, S ist bei dir ja eine Matrix, die Abbildung kann ja vielleicht auch anders heißen. Wir betrachten zum Beispiel mal folgendes:

$\begin{eqnarray*} \Phi: \mathbb R^n \to \mathbb R^m \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \vec{x} \to S \vec{x} \end{eqnarray*}$ mit einer Matrix S.

Wenn wir nun $\begin{eqnarray*} S \vec{x}= \vec{x'} \end{eqnarray*}$ haben, dann ist $\begin{eqnarray*} \vec{x'} \end{eqnarray*}$ das Bild von $\begin{eqnarray*} \vec{x} \end{eqnarray*}$ unter $\begin{eqnarray*} \Phi \end{eqnarray*}$ , nicht unter S.

11.05.2013, 09:42

Glücksritter

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Danke den letzten Teil habe ich jetzt verstanden.

Zitat:

Das was ich mit "die Basis strecken, aber den Vektor erhalten meine" sieht man in der Skizze im Anhang.

Auf dem zweiten Bild der Streckskizze ist ja e1'=2*e1. Da ich den Vektor v nicht gestreckt habe, müsste er jetzt in der neuen Basis die Komponenten:

1e1'+0,5e2'

Dem ist ja Anscheinend nicht so. Die Matrix aus dem Eingangspost scheint ja den Vektor mitzustrecken.

Ich verstehe das eigentlich so, dass die Basis geändert wird und nicht der Vektor selbst.
Als Gegenüberstellung zu meinem Streckungsproblem, habe ich nochmal die Skizze einer Drehung gezeichnet. Hier sieht man schön wie dem eigentlichen Vektor nichts passiert und sich nur die Basis dreht.

11.05.2013, 10:00

lgrizu

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Ich verstehe noch immer nicht ganz, was du willst oder wie dieses hier zustane kommt:

Zitat:

Auf dem zweiten Bild der Streckskizze ist ja e1'=2*e1. Da ich den Vektor v nicht gestreckt habe, müsste er jetzt in der neuen Basis die Komponenten:

1e1'+0,5e2'

Deine Matrix $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}1&0\\0&2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ bildet den ersten Einheitsvektor auf sich selbst ab und den zweiten Einheitsvektor auf das zweifache des selben. Es ist also $\begin{eqnarray*} \vec{e_1'}=\vec{e_1} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{e_2'}=2 \cdot \vec{e_2} \end{eqnarray*}$ .

Der Vektor $\begin{eqnarray*} \vec{v}=\begin{pmatrix}3\\3\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ hat unter der Einheitsbasis folgende Darstellung:

$\begin{eqnarray*} \vec{v}=\begin{pmatrix}3\\3\end{pmatrix}=3 \cdot \vec{e_1}+3 \cdot \vec{e_2} \end{eqnarray*}$

Das Bild ist also:

$\begin{eqnarray*} \vec{v'}= 3 \cdot \vec{e_1'}+3 \cdot \vec{e_2'}=3 \cdot \vec{e_1}+3 \cdot \left( 2 \cdot \vec{e_2}\right) \end{eqnarray*}$

Du hast doch den Vektor abgebildet, also die $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ Koordinate des Vektors um den Faktor 2 gestreckt.

11.05.2013, 11:06

Glücksritter

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Was ich jetzt schreibe bezieht sich nicht auf die Matrix im Anfangspost, sondern nur auf die Skizze (siehe unten).
Also, wenn ich nur die in meiner Skizze1 rechte Seite betrachten würde und mich jemand fragt:
"Wie sind die Komponenten von v?"

Dann würde ich antworten:
$\begin{eqnarray*} \vec{v} = 1\vec{e'_{1} }+0,5 \vec{e'_{2} } \end{eqnarray*}$

Betrachte ich nur die linke Seite, würde ich antworten:
$\begin{eqnarray*} \vec{v} = 1\vec{e_{1} }+1 \vec{e_{2} } \end{eqnarray*}$

Jetzt Beziehe ich mich auf die Matrix aus dem Eingangspost und Skizze 2:

Wende ich die Matrix auf einen Vektor an, habe ich aber nicht das darüber genannte Ergebnis, sondern das in Skizze zwei.

Grundsätzlich weiß ich wie man das alles ausrechnet. Mein Problem ist eher, dass ich den Sinn hinter dem ganzen nicht verstehe. Wenn ich mir Skizze 2 anschaue habe ich da zwei Basen:
$\begin{eqnarray*} B1=\vec{e_{1} }+ \vec{e_{2} } B2=\vec{e'_{1} }+ \vec{e'_{2} } \end{eqnarray*}$

und meine Vektoren sind dann:
$\begin{eqnarray*} \vec{v} = 1* \vec{e_{1} }+ 1* \vec{e_{2} } \end{eqnarray*}$
bzw.
$\begin{eqnarray*} \vec{v'} = 1* \vec{e'_{1} }+ 1* \vec{e'_{2} } \end{eqnarray*}$

in Komponentenschreibweise hätte ich beide Male:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Warum macht man sich die Arbeit mit der Matrix, wenn man am Ende das selbe raus hat wie am Anfang?

11.05.2013, 11:37

lgrizu

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Zitat:

Original von Glücksritter

Dann würde ich antworten:
$\begin{eqnarray*} \vec{v} = 1\vec{e'_{1} }+0,5 \vec{e'_{2} } \end{eqnarray*}$

Betrachte ich nur die linke Seite, würde ich antworten:
$\begin{eqnarray*} \vec{v} = 1\vec{e_{1} }+1 \vec{e_{2} } \end{eqnarray*}$

Das ist auch richtig, du betrachtest die Koordinaten des Vektors v zu zwei unterschiedlichen Basern.

Zitat:

Original von Glücksritter
Jetzt Beziehe ich mich auf die Matrix aus dem Eingangspost und Skizze 2:

Wende ich die Matrix auf einen Vektor an, habe ich aber nicht das darüber genannte Ergebnis, sondern das in Skizze zwei.

Natürlich, denn nun bildest du ja den Vektor ab, und der verändert sich nun mal durch die Abbildungen. Du erwartest, dass du dann den Koordinatenvektor zu der neuen Basis hättest, ist aber nicht so.

Zitat:

Original von Glücksritter
Grundsätzlich weiß ich wie man das alles ausrechnet. Mein Problem ist eher, dass ich den Sinn hinter dem ganzen nicht verstehe. Wenn ich mir Skizze 2 anschaue habe ich da zwei Basen:
$\begin{eqnarray*} B1=\vec{e_{1} }+ \vec{e_{2} } B2=\vec{e'_{1} }+ \vec{e'_{2} } \end{eqnarray*}$

und meine Vektoren sind dann:
$\begin{eqnarray*} \vec{v} = 1* \vec{e_{1} }+ 1* \vec{e_{2} } \end{eqnarray*}$
bzw.
$\begin{eqnarray*} \vec{v'} = 1* \vec{e'_{1} }+ 1* \vec{e'_{2} } \end{eqnarray*}$

in Komponentenschreibweise hätte ich beide Male:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Warum macht man sich die Arbeit mit der Matrix, wenn man am Ende das selbe raus hat wie am Anfang?

Du meinst in Koordinatenschreibweise, nicht in Komponentenschreibweise. Aber das ist ja auch klar, die Koordinaten eines Vektors v bezüglich einer Basis B sind gleich den Koordinaten des Bildes v' von v bezüglich der Basis B', also des Bildes der Basis (jeweils unter der gleichen Abbildung).

Ehrlich gesagt verstehe ich dein Problem noch immer nicht wirklich.

Man ist stets darum bemüht, Abbildungen unter einer möglichst einfachen Basis anzugeben. Möchtest du vielleicht auf einen Basiswechsel hinaus? Da bildet die Abbildung die Koordinaten des einen Vektors auf die Koordinaten des anderen Vektors ab, das macht aber die Basiswechselmatrix.

Wenn wir eine Matrix A haben und eine Basis B (in Matrixschreibweise), dann ergibts sich $\begin{eqnarray*} M_B( \Phi_A)=B^{-1}AB \end{eqnarray*}$ .

11.05.2013, 13:10

Glücksritter

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Ja ich denke da liegt mein Problem.

Sind folgende Aussagen zu meinen Skizzen richtig:
- In Skizze 1 zeige ich einen Basiswechsel
- In Skizze 2 zeige ich eine Streckung

?

11.05.2013, 14:27

lgrizu

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Nein, das ist nicht richtig, mir würde jetzt auch nicht einfallen, wie man einen Basiswechsel skizzieren sollte, in beiden Skizzen hast du drei Vektoren skizziert...

12.05.2013, 09:05

Glücksritter

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Mhh. Ganz klar ist mir das alles noch nicht, aber schonmal danke für die Tips.

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