Faltungsintegral: Sprungfunktion UND Rechteckfunktion

11.05.2013, 00:40

Steve52

Faltungsintegral: Sprungfunktion UND Rechteckfunktion

Hallo Leute,

kann mir bitte jemand bei folgender Aufgabe helfen? (Versuche mich gerade auf die Klausur vorzubereiten)

Aufgabe:
RC-Tiefpass mit Impulsantwort h(t)= $\begin{eqnarray*} \frac{1}{RC} e^{\frac{-t}{RC}} *\sigma(t) \end{eqnarray*}$ ... sigma=sprungsfunktion
Das System wird mit x*rect(t/T) angeregt. ...x=Amplitude des rect
Ich muss nun y mittels dem Faltungsintgral berechnen

Ansatz:
bis jetzt:
h(t) zu h( $\begin{eqnarray*} \frac{\tau-t}{-1} \end{eqnarray*}$ ) machen und die rect Funktion einzeichnen (Sym um Y achse)

Im ersten Bereich ist das Faltungsintegral 0
im zweiten Bereich ergibt sich das Problem:
laut meinen Unterlagen kann man die Rect bzw. die Sigma Funktion ja eliminieren in dem man die Integrationsgrenzen neu setzt.
das Funktioniert auch soweit (allerdings nur für eine der beiden Funktionen)
-> will ich das Rechteck eliminieren werden die Integrationsgrenzen zu -T/2 und +T/2
-> will ich nun die Sprungsfunktion auf die gleiche weise eliminieren "zerstöre" ich mir ja somit meine eben neu definierten Grenzen?

$\begin{eqnarray*} \int_{-\infty}^{\infty} \ \frac{1}{RC} e^{\frac{-(\tau+t)}{RC}} *\sigma(\tau+t)\cdot x*rect(\frac{t}{T}) ) \, d\tau \end{eqnarray*}$

-> rect eliminieren:
$\begin{eqnarray*} \int_{-T/2}^{T/2} \ \frac{1}{RC} e^{\frac{-(\tau+t)}{RC}} *\sigma(\tau +t)\cdot x ) \, d\tau \end{eqnarray*}$

-> Sigma eliminieren:
$\begin{eqnarray*} \int_{-T/2-t}^{T/2} \ \frac{x}{RC} e^{\frac{-(\tau+t)}{RC}} ) \, d\tau \end{eqnarray*}$

Problem: ab hier ist glaub ich die Rechnung falsch verwirrt

Vielen Dank für eure Hilfe!

11.05.2013, 10:45

Steve52

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Faltungsintegral: Sprungfunktion UND Rechteckfunktion
sry habe gerade einen Tippfehler entdeckt

alle * in den Faltungsintegralen sollten natürlich normale Multiplikationssysmbole sein und kein Faltungsstern

11.05.2013, 11:52

zyko

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Faltungsintegral: Sprungfunktion UND Rechteckfunktion

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \int_{-\infty}^{\infty} \ \frac{1}{RC} e^{\frac{-(\tau+t)}{RC}} *\sigma(\tau+t)\cdot x*rect(\frac{t}{T}) ) \, d\tau \end{eqnarray*}$

-> rect eliminieren:
$\begin{eqnarray*} \int_{-T/2}^{T/2} \ \frac{1}{RC} e^{\frac{-(\tau+t)}{RC}} *\sigma(\tau +t)\cdot x ) \, d\tau \end{eqnarray*}$

Das ist falsch.

Die Rechteckfunktion enthält kein $\begin{eqnarray*} \tau \end{eqnarray*}$ , deshalb kann sie direkt vor das Integral gezogen werden.
Verbleibt also nur noch die Frage: Für welche $\begin{eqnarray*} \tau \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} \sigma(\tau+t) \neq 0 \end{eqnarray*}$ ?

Beachte das Ergebnis ist eine Funktion von t.

11.05.2013, 13:21

Steve52

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Faltungsintegral: Sprungfunktion UND Rechteckfunktion
Hallo zyko,

vielen Dank für deine schnelle Antwort smile

wenn ich rect vor das Integral ziehe kann ich ja sagen, dass sie 1 ist (ich integrieren von -T/2 bis t)?

sigma ist für $\begin{eqnarray*} \tau \end{eqnarray*}$ 's zw. -T/2 und T/2 = 1

11.05.2013, 18:28

zyko

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Faltungsintegral: Sprungfunktion UND Rechteckfunktion
rect enthält $\begin{eqnarray*} \tau \end{eqnarray*}$ nicht, deshalb muss es auch nicht integriert werden, aber es gilt
$\begin{eqnarray*} rect\left(\frac{t}{T}\right)=\left\{\begin{array}{ll} 1 &\mbox{ falls } -0.5 \leq \frac{t}{T} \leq +0.5 \\<br /> 0 & \mbox{sonst} \end{array}\right. \end{eqnarray*}$
Dein Ausdruck ist also nur dann ungleich 0, wenn t diese Bedingung erfüllt.

Da $\begin{eqnarray*} \sigma(x) = \begin{cases} 1 \mbox{ falls } x\geq 0 \\ 0 \mbox{ sonst }\end{cases} \end{eqnarray*}$
ist nur noch über das Integrationsintervall zu integrieren, in dem diese Bedingung 1 ist.

11.05.2013, 22:31

Steve52

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Faltungsintegral: Sprungfunktion UND Rechteckfunktion
Vielen Dank!

Ich hab jetzt das richtige Ergebnis smile

Jedoch bin ich auf ein neues Problem gestoßen:

-> bei diesem Beispiel sahen meine Integrationsgrenzen folgendermaßen aus:

t<0: Integral=0
-T/2 <= t < T/2: Integral liefert Wert
t>= T/2: Integral liefert Wert

meine Methode:
ich habe mir beide Funktionen aufgezeichnet und durch ablesen ermittelt in welchen Bereichen sich die Fläche ändert

ich habe nun ein neues Beispiel bei dem es leider / anscheinend mit dem Ablesen nicht mehr so einfach geht:

$\begin{eqnarray*} x(t)= \frac{1}{2}\cdot t \cdot rect\left(\frac{t-1}{2}\right) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} h(t) =rect\left(\frac{t-\frac{3}{2} }{3} \right) \end{eqnarray*}$

ich habe mir alle 5 möglichen Fälle aufgezeichnet und bin zu folgenden Integrationsgrenzen gekommen:

siehe Anhang 1

Problem: Wenn ich mir die erhaltenen Funktionen stückweise in den einzelnen Definitionsbereichen aufzeichne stimmen sie nicht exakt mit der Ergbnisfunktion überein
ich hab aber keine Ahnung warum nicht..... Hammer

im zweiten Anhang ist die blaue Funktion die richtige Ergbenisfunktion
die lila stückweise definierte Funktion ist meine^^

Danke für eure Hilfe!! smile

12.05.2013, 18:57

zyko

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Faltungsintegral: Sprungfunktion UND Rechteckfunktion
Du betrachtest das Integral
$\begin{eqnarray*} I(t)=\frac{1}{2}\int_{-\infty}^{\infty} \tau \cdot rect \left(\frac{\tau-1}{2}\right) \cdot rect \left(\frac{t-\frac{3}{2}}{3}-\tau \right) d\tau \end{eqnarray*}$
Irgendwo hast du noch ein T versteckt. Darauf verzichte ich jetzt.
Der Integrand ist 0, wenn einer der Faktoren 0 ist. Bestimme die Intervalle hinsichtlich $\begin{eqnarray*} \tau \end{eqnarray*}$ , für die alle Faktoren ungleich 0 sind.
Die Integrationsgrenzen ergeben sich dann:
unten als Maximum der unteren Intervallgrenzen,
oben als Minimum der oberen Intervallgrenzen.
Die Integration rein formal durchführen, erst beim Einsetzen der Grenzen alle auftretenden Fälle, hinsichtlich t diskutieren; denn die Grenzen hängen von t ab.

27.07.2013, 18:31

Steve52

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Faltungsintegral: Sprungfunktion UND Rechteckfunktion
hii

sry das ich mich erst jetzt für deine Antwort bedanke

ich habs mittlerweile hinbekommen :P
thx smile

Neue Frage »

Antworten »

Faltungsintegral: Sprungfunktion UND Rechteckfunktion

Verwandte Themen