Abbildunsgleichung von R²->R mit zwei gegebenen gegebenen Vektoren bestimmen

11.05.2013, 12:17

Alina123

Abbildunsgleichung von R²->R mit zwei gegebenen gegebenen Vektoren bestimmen

Hilfe, wie bestimme ich die Abbildungsgleichung von Vektoren?
Gegeben sei zb A:R²->R mit A(1,1)=2 und A(0,1)=2
Wie geht man hier bitte in etwa vor?

11.05.2013, 12:21

Che Netzer

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RE: Abbildunsgleichung von R²->R mit zwei gegebenen gegebenen Vektoren bestimmen
Vektoren haben keine "Abbildungsgleichung".
Möchtest du die Abbildungsvorschrift von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ bestimmen, wenn diese Abbildung linear sein soll?

11.05.2013, 12:30

Alina123

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RE: Abbildunsgleichung von R²->R mit zwei gegebenen gegebenen Vektoren bestimmen
Ja, funktioniert das einfach mit der allgemeinen Geradengleichung y=mx+c ?
Aber da x jeweils aus 2-Tupel besteht, kann das so vermutlich nicht funktioneren

11.05.2013, 12:35

Che Netzer

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RE: Abbildunsgleichung von R²->R mit zwei gegebenen gegebenen Vektoren bestimmen
Was soll denn diese allgemeine Geradengleichung mit linearen Abbildungen zu tun haben?

Zerlege lieber $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ in eine Linearkombination aus $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

11.05.2013, 12:59

Alina123

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RE: Abbildunsgleichung von R²->R mit zwei gegebenen gegebenen Vektoren bestimmen
Also suche ich nach einen
$\begin{eqnarray*} k_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} k_2 \end{eqnarray*}$ damit

$\begin{eqnarray*} k_1\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}+k_2\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix} ? \end{eqnarray*}$

11.05.2013, 13:03

Che Netzer

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RE: Abbildunsgleichung von R²->R mit zwei gegebenen gegebenen Vektoren bestimmen
Nein, vielmehr sollte
$\begin{eqnarray*} k_1\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}+k_2\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
für beliebiges $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\in\mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ gelten.

11.05.2013, 13:15

Alina123

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$\begin{eqnarray*} k_1+0k_2 = x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} k_1+k_2 = y \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ... \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} k_1 = x; k_2 = y-x \end{eqnarray*}$

Nun kann ich 2 für x und 2 für y einsetzen und komme für $\begin{eqnarray*} k_1 = 2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} k_2 = 0. \end{eqnarray*}$
Hattest du das im Sinn?

PS: bin wirklich dankbar für die Hilfe

11.05.2013, 13:17

Che Netzer

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Zitat:

Original von Alina123
Nun kann ich 2 für x und 2 für y einsetzen und komme für $\begin{eqnarray*} k_1 = 2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} k_2 = 0. \end{eqnarray*}$

Nein, wie kommst du denn darauf?

Nutze jetzt jedenfalls diese Zerlegung, um $\begin{eqnarray*} A(x,y) \end{eqnarray*}$ umzuschreiben.

11.05.2013, 13:26

Alina123

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Meinst du so?
$\begin{eqnarray*} A(k_1,k_1+k_2) \end{eqnarray*}$

11.05.2013, 14:20

Che Netzer

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Nein, das nützt nichts.
Setze einfach
$\begin{eqnarray*} k_1\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}+k_2\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
ein.

11.05.2013, 16:42

Alina123

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Sorry, ich steh' einfach an.

Ist das nun die "Abbildungsgleichung"?
$\begin{eqnarray*} k_1\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}+k_2\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}k_1\\k_1+k_2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

11.05.2013, 16:45

Che Netzer

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Nein, wir wollen eine Gleichung der Form $\begin{eqnarray*} A(x,y)=\dotso \end{eqnarray*}$ haben.
Dazu sollst du $\begin{eqnarray*} (x,y) \end{eqnarray*}$ durch die Zerlegung ersetzen, die wir erarbeitet haben. Anschließend kannst du $\begin{eqnarray*} A(1,1)=2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} A(0,1)=2 \end{eqnarray*}$ einsetzen.

11.05.2013, 17:29

Alina123

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Ich komme nun auf k1 = 2; k2 = 0,
folgt daraus:
$\begin{eqnarray*} A(x,y)=2y ? \end{eqnarray*}$

11.05.2013, 17:34

Che Netzer

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Zitat:

Original von Alina123
Ich komme nun auf k1 = 2; k2 = 0,

Woher kommt das denn nun wieder?
Wie hast du gerechnet, um auf $\begin{eqnarray*} A(x,y)=2y \end{eqnarray*}$ zu kommen?

11.05.2013, 17:40

Alina123

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Du hast mich ja zu dieser Form hingeführt
$\begin{eqnarray*} k_1\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}+k_2\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Ich dachte ich setze für x und y eben 2 ein, da dies die gegebenen Ergebnisse sind.
Dann komme ich auf k1 = 2, k2 = 2-k1 = 0...

Ich weiß sonst echt nicht weiter.
Wie vereint man die beiden Gleichungen (R2) so, dass ein Skalar (R) entsteht?

11.05.2013, 17:51

Che Netzer

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Wir wissen nichts über $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .
Wie wäre es, wenn du nun mal dem Hinweis folgst, den ich dir andauernd gebe?
Setze $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=k_1\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}+k_2\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} A(x,y)=A(\dotso) \end{eqnarray*}$ ein.

11.05.2013, 18:09

Alina123

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Meinst du einfach so?
$\begin{eqnarray*} A(x,y)=A(k_1\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}+k_2\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}) \end{eqnarray*}$

11.05.2013, 18:10

Che Netzer

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Ja, geht doch.
Jetzt nutze die Linearität der Abbildung $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ aus.

11.05.2013, 23:24

Alina123

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Ist die Lösung $\begin{eqnarray*} A = (k_1,k_1+k_2) \end{eqnarray*}$ ?

11.05.2013, 23:27

Che Netzer

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Nein, $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ist eine Abbildung, $\begin{eqnarray*} k_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} k_2 \end{eqnarray*}$ sind bei uns von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ abhängige Zahlen.

Wende auf
$\begin{eqnarray*} A\left(k_1\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}+k_2\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}\right) \end{eqnarray*}$
die Definition der Linearität an.

11.05.2013, 23:37

Alina123

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hm also f(x+y)=f(x)+f(y)
bzw
f(ax) = a(f(x)) ?

--Weißt du wo ich schon vorgerechnete Beispiele finde?

11.05.2013, 23:39

Che Netzer

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Zitat:

Original von Alina123
hm also f(x+y)=f(x)+f(y)
bzw
f(ax) = a(f(x)) ?

Genau.
Nutze zunächst die erste Gleichung, dann zweimal die zweite.

Zitat:

--Weißt du wo ich schon vorgerechnete Beispiele finde?