Schnittpunkt- und Winkel von Kurven im R^n

11.05.2013, 13:18

bZerk

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Schnittpunkt- und Winkel von Kurven im R^n

Hallo liebes Matheboard smile

smile

Wieder muss ich mich mit dem Thema Kurven im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^{n} \end{eqnarray*}$ an euch wenden, da mir dieses Thema noch nicht so liegt und ich mit er Darstellung auch noch nicht so klar komme.

Also wir haben gegeben:

eine Funktion $\begin{eqnarray*} f: \mathbb R \rightarrow \mathbb R^{2} \end{eqnarray*}$ , welche definiert ist durch $\begin{eqnarray*} \gamma(t) = e^{ct}(sin(t),cos(t)) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} c > 0 \end{eqnarray*}$

Außerdem gegeben sind:

$\begin{eqnarray*} \vec{v} = (v_{1},v_{2}) \in \mathbb R^{2} \end{eqnarray*}$ ein Vektor mit Länge 1
$\begin{eqnarray*} g: [0,\infty) \rightarrow \mathbb R^{2} \end{eqnarray*}$ definiert durch $\begin{eqnarray*} g(t) = t \cdot \vec{v} \end{eqnarray*}$ die zugehörige Gerade

Die Aufgabe lautet jetzt: Für welche Werte von $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ und in welchem Winkel schneiden sich die beiden Kurven $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ ?

Ich habe bis jetzt keinen Schimmer wie ich das angehen soll, da mir wie gesagt die Darstellung der Kurve $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ noch Probleme bereitet.

Das einzige was ich bis jetzt habe ist die Formel für den Schnittwinkel

$\begin{eqnarray*} cos(\theta) = \frac{f'(t_{1}) \cdot g'(t_{2})}{||f'(t_{1})|| \cdot ||g'(t_{2})||} \end{eqnarray*}$

Für Hilfe wäre ich sehr dankbar smile

smile

Gruß

bZerk

11.05.2013, 14:24

Che Netzer

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RE: Schnittpunkt- und Winkel von Kurven im R^n
Als erstes solltest du $\begin{eqnarray*} \gamma(t_1)=g(t_2) \end{eqnarray*}$ setzen, um die Schnittpunkte zu ermitteln.
Dann kannst du ausnutzen, dass sich $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ als $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}\sin t_0\\\cos t_0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ schreiben lässt. Überlege dir auch, wieso das möglich ist.

11.05.2013, 14:44

bZerk

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Also ich geh erst mal auf das 2. ein smile

smile

Die Länge des Vektors ist 1, außerdem ist die Länge eines Vektor $\begin{eqnarray*} \vec{v} = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ist definiert als $\begin{eqnarray*} ||\vec{v}|| = \sqrt{v_{1}^2 + v_{2}^2} \end{eqnarray*}$ und da $\begin{eqnarray*} \sin^2(t_{0}) + \cos^2(t_{0}) = 1 \end{eqnarray*}$ ist kann man den Vektor ausdrücken als $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} sin(t_{0}) \\ cos(t_{0}) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

So nun zu 1.:

$\begin{eqnarray*} \gamma(t_{1}) = g(t_{2}) \end{eqnarray*}$

Das wäre dann $\begin{eqnarray*} e^{ct_{1}}(sin(t_{1}), cos(t_{1})) = t_{2} \cdot \vec{v} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow e^{ct_{1}}(sin(t_{1}), cos(t_{1})) = t_{2} \begin{pmatrix} \sin(t_{2}) \\ \cos(t_{2}) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Kann ich denn nun $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ eine andere Schreibweise verpassen?

11.05.2013, 14:47

Che Netzer

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Zitat:

Original von bZerk
Die Länge des Vektors ist 1, außerdem ist die Länge eines Vektor $\begin{eqnarray*} \vec{v} = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ist definiert als $\begin{eqnarray*} ||\vec{v}|| = \sqrt{v_{1}^2 + v_{2}^2} \end{eqnarray*}$ und da $\begin{eqnarray*} \sin^2(t_{0}) + \cos^2(t_{0}) = 1 \end{eqnarray*}$ ist kann man den Vektor ausdrücken als $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} sin(t_{0}) \\ cos(t_{0}) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Das zeigt eher, dass $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}\sin t_0\\\cos t_0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ den Betrag Eins hat.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow e^{ct_{1}}(sin(t_{1}), cos(t_{1})) = t_{2} \begin{pmatrix} \sin(t_{2}) \\ \cos(t_{2}) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Hier brauchst du einen Äquivalenzpfeil, keinen Implikationspfeil.
Und jetzt vergleiche die Beträge beider Seiten und die Argumente der Winkelfunktionen.
Edit: Außerdem sind die Argumente rechts falsch.

11.05.2013, 14:47

bZerk

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Bzw ich könnte es auch schreiben als:

$\begin{eqnarray*} e^{ct_{1}}(sin(t_{1}), cos(t_{1})) = t_{2}(sin(t_{2}), cos(t_{2})) \end{eqnarray*}$ oder ?

11.05.2013, 14:57

bZerk

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Die Argumente rechts sind falsch weil es nicht unbedingt der $\begin{eqnarray*} \sin \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \cos \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} t_{2} \end{eqnarray*}$ sein muss, sondern von irgendeinem beliebigen $\begin{eqnarray*} t \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ , da der Betrag immer 1 ist?

Und der Pfeil war ein Versehen, aber danke smile

smile

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11.05.2013, 15:17

Che Netzer

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Nein, wir haben dem Argument schon einen Namen gegeben; das ist fest.

11.05.2013, 15:37

bZerk

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Also gilt

$\begin{eqnarray*} e^{ct_{1}}(\sin t_{1}, \cos t_{1}) = t_{2}(\sin t_{0}, \cos t_{0}) \end{eqnarray*}$

Falls du das nicht meinst, weiß ich leider nicht worauf du hinaus willst.

11.05.2013, 15:44

Che Netzer

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Ja, das meinte ich.
Daraus kannst du jetzt zwei Gleichungen für $\begin{eqnarray*} t_2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} t_1 \end{eqnarray*}$ aufstellen.

11.05.2013, 16:26

bZerk

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Ok ich habs mal so gemacht wie ich denke und erhalten dann als Gleichung

$\begin{eqnarray*} (1) e^{ct_{1}} \cdot \sin t_{1} - t_{2} \cdot \sin t_{0} = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (2) e^{ct_{1}} \cdot \cos t_{1} - t_{2} \cdot \cos t_{0} = 0 \end{eqnarray*}$

Aber irgendwie verwirrt mich dieses $\begin{eqnarray*} t_{0} \end{eqnarray*}$

verwirrt

Hab mir jedenfalls die einzelnen Glieder angeschaut.

1. Gleichung: $\begin{eqnarray*} e^{ct_{1}} \end{eqnarray*}$ wird niemals 0, $\begin{eqnarray*} \sin t_{1} \end{eqnarray*}$ wird 0 für $\begin{eqnarray*} t_{1} = 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} t_{2} \cdot \sin t_{0} \end{eqnarray*}$ wird dann 0, wenn $\begin{eqnarray*} t_{2} = 0 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} t_{0} = t_{1} = 0 \end{eqnarray*}$ (weiß leider nicht ob ich überhaupt eine Aussage über $\begin{eqnarray*} t_{0} \end{eqnarray*}$ treffen darf.

2. Gleichung: $\begin{eqnarray*} e^{ct_{1}} \end{eqnarray*}$ wird niemals 0, $\begin{eqnarray*} \cos t_{1} \end{eqnarray*}$ wird 0 für $\begin{eqnarray*} t_{1} = \frac{3\pi}{2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} t_{2} \cdot \cos t_{0} \end{eqnarray*}$ wird dann 0, wenn $\begin{eqnarray*} t_{2} = 0 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} t_{0} = t_{1} = \frac{3\pi}{2} \end{eqnarray*}$

Da ich hier zu keinem Ergebnis komme, geh ich mal davon aus, dass ich auf dem falschen Weg bin Big Laugh

Big Laugh

11.05.2013, 16:28

Che Netzer

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Nein, die Gleichungen meine ich nicht.
Die erste erhältst du, indem du die Beträge beider Seiten vergleichst.
Die zweite, indem du die Argument der Winkelfunktionen (die Richtungen der Vektoren) vergleichst.

11.05.2013, 16:40

bZerk

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1. $\begin{eqnarray*} ||\gamma(t_{1})|| = ||g(t_{2})|| \end{eqnarray*}$ ?

2. steh ich auf dem schlauch verwirrt

verwirrt

11.05.2013, 16:42

Che Netzer

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Zitat:

Original von bZerk
1. $\begin{eqnarray*} ||\gamma(t_{1})|| = ||g(t_{2})|| \end{eqnarray*}$ ?

Ja, das folgt doch wohl aus $\begin{eqnarray*} \gamma(t_1)=g(t_2) \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

2. steh ich auf dem schlauch verwirrt

verwirrt

Was muss denn gelten, damit zwei Vektoren gleich sind? Es reicht dazu nicht aus, dass sie den gleichen Betrag haben.

11.05.2013, 16:57

bZerk

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Nungut also aus 1. folgt bei mir

$\begin{eqnarray*} e^{ct_{1}} = t_{2} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Was muss denn gelten, damit zwei Vektoren gleich sind? Es reicht dazu nicht aus, dass sie den gleichen Betrag haben.

Um gleich zu sein müssen sie die gleich Richtung haben.

11.05.2013, 17:06

Che Netzer

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Zitat:

Original von bZerk
$\begin{eqnarray*} e^{ct_{1}} = t_{2} \end{eqnarray*}$

Genau.

Zitat:

Um gleich zu sein müssen sie die gleich Richtung haben.

Und was bedeutet das für $\begin{eqnarray*} t_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} t_0 \end{eqnarray*}$ ?

11.05.2013, 17:12

bZerk

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Naja da wir die Gleichheit von $\begin{eqnarray*} e^{ct_{1}} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} t_{2} \end{eqnarray*}$ gezeigt haben, muss $\begin{eqnarray*} t_{0} = t_{1} \end{eqnarray*}$ gelten.

11.05.2013, 17:20

Che Netzer

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Bis auf ...?

11.05.2013, 17:26

bZerk

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Ich weiß leider grade nicht was du meinst verwirrt

verwirrt

11.05.2013, 17:28

Che Netzer

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Die Gleichung $\begin{eqnarray*} \sin t_1=\sin t_0 \end{eqnarray*}$ gilt nicht nur für $\begin{eqnarray*} t_0=t_1 \end{eqnarray*}$ .

Sieht das für dich wie eine injektive Funktion aus?

11.05.2013, 17:34

bZerk

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Achso ja natürlich $\begin{eqnarray*} \sin(t_{1}) = \sin(t_{0}) \end{eqnarray*}$ ist erfüllt für $\begin{eqnarray*} t_{1} = t_{0} + 2\pi \end{eqnarray*}$

Edit: Bei $\begin{eqnarray*} \cos \end{eqnarray*}$ gilt das natürlich auch.
Edit: $\begin{eqnarray*} t_{0} = t_{1} + 2\pi \end{eqnarray*}$ ist sinnvoller^^

11.05.2013, 17:44

Che Netzer

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Etwas allgemeiner geht das noch.
Wann genau sind $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}\sin t_1\\\cos t_1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}\sin t_0\\\cos t_0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ gleich?

11.05.2013, 17:58

bZerk

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$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} sin(t_{1}) \\ cos (t_{1}) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} sin(t_{0}) \\ cos (t_{0}) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ wenn $\begin{eqnarray*} t_{0} = t_{1} + a \cdot 2\pi, \forall a \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$

11.05.2013, 18:01

Che Netzer

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Jetzt nehme ich nur noch die Schreibweise auseinander Augenzwinkern

Augenzwinkern

Wie stellst du es dir denn vor, dass die Gleichung $\begin{eqnarray*} t_0=t_1+2\pi a \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} a\in\mathbb Z \end{eqnarray*}$ gleichzeitig gelten soll?

Jedenfalls hast du jetzt die beiden Gleichungen, die wir brauchen.
Für gegebenes $\begin{eqnarray*} k\in\mathbb Z \end{eqnarray*}$ können wir also $\begin{eqnarray*} t_1:=t_0+2\pi k \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} t_2:=\mathrm e^{ct_1} \end{eqnarray*}$ setzen, um den Schnittpunkt $\begin{eqnarray*} S_k:=\gamma(t_1)=g(t_2) \end{eqnarray*}$ zu erhalten – dies deckt also bereits alle Schnittpunkte ab.

Jetzt gilt es noch zu bestimmen, in welchem Winkel sich $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} S_k \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} k\in\mathbb Z \end{eqnarray*}$ , schneiden.

11.05.2013, 18:26

bZerk

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Vielen vielen Dank bis hier hin, hast mir sehr geholfen smile

smile

Das mit dem Winkel bekomme ich beim besten Willen heute nicht mehr hin, sitze schon wieder seit 10 Stunden an Mathe & mein kopf explodiert gleich.

Trotzdem nochmal danke smile

smile

12.05.2013, 15:52

bZerk

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So ich hab mich mal am Winkel versucht. Ausgegangen von der Funktion:

$\begin{eqnarray*} \cos \theta = \frac{\gamma'(t_{1}) \cdot g'(t_{2})}{||\gamma'(t_{1})|| \cdot ||g'(t_{2})||} \end{eqnarray*}$

Also habe ich angefangen mit:

$\begin{eqnarray*} \gamma'(t_{1}) = (c \cdot e^{ct_{1}} \cdot \sin(t_{1}) + e^{ct_{1}} \cdot \cos(t_{1}), c \cdot e^{ct_{1}} \cdot \cos(t_{1}) - e^{ct_{1}} \cdot \sin(t_{1})) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g'(t_{2}) = (sin(t_{0}, cos(t_{0})) \end{eqnarray*}$

Die Beträge hatte ich in eine anderen Teilaufgabe schon errechnet und sie lauten:

$\begin{eqnarray*} ||\gamma'(t_{1})|| = e^{ct_{1}} \cdot \sqrt{c^2 + 1} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} ||g'(t_{2})|| = 1 \end{eqnarray*}$

Jetzt habe ich das in obige Gleichung eingesetzt und erhalte:

$\begin{eqnarray*} \cos \theta = \frac{\gamma'(t_{1}) \cdot g'(t_{2})}{||\gamma'(t_{1})|| \cdot ||g'(t_{2})||} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{c \cdot e^{ct_{1}} \cdot \sin(t_{1}) \cdot \sin(t_{0}) + e^{ct_{1}} \cdot \cos(t_{1}) \cdot \sin(t_{0}) + c \cdot e^{ct_{1}} \cdot \cos(t_{1}) \cdot \cos(t_{0}) - e^{ct_{1}} \cdot \sin(t_{1}) \cdot \cos(t_{0})}{e^{ct_{1}} \cdot \sqrt{c^2+1}} \end{eqnarray*}$

PUH!

Jetzt kann man im Zähler jeweils ein $\begin{eqnarray*} e^{ct_{1}} \end{eqnarray*}$ rausziehen und mit dem im Nenner kürzen, und etwas umstellen und erhalten

$\begin{eqnarray*} = \frac{c \cdot (\sin(t_{0})\sin(t_{1})+\cos(t_{0})\cos(t_{1})) + \sin(t_{0})\cos(t_{1}) - \cos(t_{0})\sin(t_{1})}{\sqrt{c^2+1}} \end{eqnarray*}$

Da wir ermittelt haben, dass $\begin{eqnarray*} t_{1} = t_{0} + k2\pi, k \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (1) \sin(t_{0}) = \sin(t_{0} + k2\pi) , (2) \cos(t_{0}) = \cos(t_{0} + k2\pi) \end{eqnarray*}$ gilt, folgt:

$\begin{eqnarray*} = \frac{c \cdot (\sin^2(t_{0})+0\cos^2(t_{0})) + \sin(t_{0})\cos(t_{0}) - \cos(t_{0})\sin(t_{0})}{\sqrt{c^2+1}} \end{eqnarray*}$

Und somit folgt letztlich für den Schnittwinkel:

$\begin{eqnarray*} \cos \theta = \frac{c}{\sqrt{c^2+1}} \end{eqnarray*}$

So ich hoffe das ist richtig, weil das richtig richtig viel Arbeit war Big Laugh

Big Laugh

12.05.2013, 15:58

Che Netzer

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Zitat:

Original von bZerk
$\begin{eqnarray*} \gamma'(t_{1}) = (c \cdot e^{ct_{1}} \cdot \sin(t_{1}) + e^{ct_{1}} \cdot \cos(t_{1}), c \cdot e^{ct_{1}} \cdot \cos(t_{1}) - e^{ct_{1}} \cdot \sin(t_{1})) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g'(t_{2}) = (sin(t_{0}, cos(t_{0})) \end{eqnarray*}$

Besser: $\begin{eqnarray*} g'(t_2)=v \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \gamma'(t_1)=c\mathrm e^{ct_1}v+\mathrm e^{ct_1}w \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} w=\begin{pmatrix}\cos t_1\\-\sin t_1\end{pmatrix}\perp v \end{eqnarray*}$ .
Das sollte die weitere Rechnung erheblich erleichtern Augenzwinkern

Augenzwinkern

Das Ergebnis stimmt aber.

12.05.2013, 16:00

bZerk

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Super danke dir nochmals smile

smile

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