Kurvenintegral über komplex Konjugiertes einer Funktion

11.05.2013, 17:08

12345678

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Kurvenintegral über komplex Konjugiertes einer Funktion

Meine Frage:
Es sei a komplexe Zahl und f Potenzreihe um a mit Konvergenzradius p > 0, wobei f nur innerhalb des Konvergenzradius definiert ist.
Sei r aus ]0,p[ und $\begin{eqnarray*} \gamma_r : [0,2 \pi] \rightarrow \mathbb C<br /> t \mapsto a + re^{it}. \end{eqnarray*}$ .

Zeige: $\begin{eqnarray*} \int_{\gamma_r} \overline{f(\zeta)}d\zeta = 2 \pi i r^2 \overline{f'(a)}<br /> \end{eqnarray*}$ .

Meine Ideen:
Ich vermute folgender Satz wird benötigt(zum einen da wir ihn gerade in der Vorlesung hatten und zum anderen weil da vermutlich das $\begin{eqnarray*} 2 \pi i \end{eqnarray*}$ herkommt und weil die Vorraussetzungen passend klingen): $\begin{eqnarray*} Sei \ a \in \mathbb C, r > 0,<br />\ \gamma_{a,r}: [0,2 \pi] \rightarrow \mathbb C<br />t \mapsto a + re^{it}.<br />Dann \ gilt: \frac{1}{2 \pi i} \int_{\gamma_{a,r}}\frac {1}{\zeta - z} d\zeta = 1 \ falls \ |z-a| < r \ und \ 0 \ falls \ |z-a| > r . \end{eqnarray*}$ Außerdem vermute ich, dass man verwenden soll, dass man Potenzreihen stückweise differenzieren darf.
Außerdem soll man wahrscheinlich die komplexe Konjugation in die Potenzreihe "reinziehen".

Aber ich krieg trotzdem keinen Ansatz hin.

11.05.2013, 17:43

Che Netzer

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RE: Kurvenintegral über komplex Konjugiertes einer Funktion
Deine Potenzreihe hat die Form $\begin{eqnarray*} f(z)=\sum_{k=0}^\infty f_k\cdot(z-a)^k \end{eqnarray*}$ .
(dabei ist insbesondere $\begin{eqnarray*} f_1=f'(a) \end{eqnarray*}$ )
Schreib mal die Definition des linken Integrals auf.

11.05.2013, 18:08

12345678

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$\begin{eqnarray*} Das \ linke \ Integral \ = \int_0^{2 \pi} {\sum_{n =0}^\infty f_k (a + re^{it} -a)^k rie^{it}dt \end{eqnarray*}$

11.05.2013, 18:09

12345678

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sorry, wollte auf vorschau drücken und hab auf antwort erstellen geklickt, muss es nochmal richtig aufschreiben

11.05.2013, 18:14

12345678

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$\begin{eqnarray*} Das \ linke \ Integral \ = \int_0^{2 \pi} \sum_{n =0}^\infty f_k (a + re^{it} -a)^k rie^{it}dt = \int_0^{2 \pi} \sum_{n =0}^\infty f_k re^{kit} rie^{it}dt = <br /> \int_0^{2 \pi} \sum_{n =0}^\infty f_k r^2e^{(k+1)it} dt \end{eqnarray*}$

11.05.2013, 18:17

Che Netzer

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Da hast du die Konjugation vergessen. Du kommst damit auf
$\begin{eqnarray*} \sum_{{\color{red}k}=0}^\infty\int_0^{2\pi}\overline{f_k}r^{\color{red}k}\mathrm e^{-\mathrm ikt}\cdot\mathrm ir\mathrm e^{\mathrm it}\dd t\,. \end{eqnarray*}$
Jetzt hast du ein Integral über ein reelles Intervall; da kannst du die komplexe Konjugation herausziehen, um
$\begin{eqnarray*} \sum\overline{\int_0^{2\pi}?\dd t} \end{eqnarray*}$
zu erhalten.

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11.05.2013, 18:48

12345678

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Hammer

du hast recht, da hab ich das Wichtigste vergessen...
Ich bin mir nicht völlig sicher aber ich glaub

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^\infty\int_0^{2\pi}\overline{f_k}r^{k}\mathrm%20e^{-\mathrm%20ikt}\cdot\mathrm%20ir\mathrm%20e^{\mathrm%20it}\dd%20t\, =<br /> <br /> \sum_{k=0}^\infty\overline{\int_0^{2\pi}{f_k}\overline{r^{k}\mathrm%20e^{\mathrm%20-ikt}\cdot\mathrm%20ir\mathrm%20e^{\mathrm%20it}}\dd%20t\,} =<br /> <br /> \sum_{k=0}^\infty\overline{\int_0^{2\pi}{f_k}{r^{k}\mathrm%20e^{\mathrm%20ikt}\cdot\mathrm%20(-)ir\mathrm%20e^{\mathrm%20-it}}\dd%20t\,}=<br /> <br /> \sum_{k=0}^\infty\overline{\int_0^{2\pi}-i{f_k}{r^{k+1}\mathrm%20e^{\mathrm%20(k-1)it}\mathrm%20\dd%20t\,}}<br /> <br /> <br /> <br /> \end{eqnarray*}$

11.05.2013, 18:57

Che Netzer

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Jetzt kannst du noch $\begin{eqnarray*} -f_kr^2 \end{eqnarray*}$ aus dem Integral ziehen.
Anschließend schreib $\begin{eqnarray*} \mathrm e^{\mathrm i(k-1)t}=\mathrm e^{\mathrm i(k-2)t}\mathrm e^{\mathrm it} \end{eqnarray*}$ .
Schreibe das Integral dann wieder als Kurvenintegral.

11.05.2013, 19:22

12345678

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$\begin{eqnarray*} %3Cbr%20/%3E%3Cbr%20/%3E\sum_{k=0}^\infty\overline{\int_0^{2\pi}-i{f_k}{r^{k+1}\mathrm%20e^{\mathrm%20(k-1)it}\mathrm%20\dd%20t\,}}%3Cbr%20/%3E%3Cbr%20/%3E%3Cbr%20/%3E%3Cbr%20/%3E =%3Cbr%20/%3E%3Cbr%20/%3E\sum_{k=0}^\infty\overline{-{f_k}r^2}\overline{\int_0^{2\pi}i{r^{k-1}\mathrm%20e^{\mathrm%20(k-1)it}\mathrm%20\dd%20t\,}}%3Cbr%20/%3E%3Cbr%20/%3E%3Cbr%20/%3E%3Cbr%20/%3E=<br /> %3Cbr%20/%3E%3Cbr%20/%3E\sum_{k=0}^\infty\overline{-{f_k}r^2}\overline{\int_0^{2\pi}i{r^{k-1}\mathrm%20e^{\mathrm%20(k-2)it}e^{it}\mathrm%20\dd%20t\,}}%3Cbr%20/%3E%3Cbr%20/%3E%3Cbr%20/%3E%3Cbr%20/%3E<br /> \end{eqnarray*}$

Aber bzgl. welcher Kurve soll ich das als Kurvenintegral schreiben, bzgl der gleichen?

$\begin{eqnarray*} %3Cbr%20/%3E%3Cbr%20/%3E\sum_{k=0}^\infty\overline{-{f_k}r^2}\overline{\int_0^{2\pi}{r^{k-2}\mathrm%20e^{\mathrm%20(k-2)it}rie^{it}\mathrm%20\dd%20t\,}}%3Cbr%20/%3E%3Cbr%20/%3E%3Cbr%20/%3E%3Cbr%20/%3E=%3Cbr%20/%3E%3Cbr%20/%3E\sum_{k=0}^\infty\overline{-{f_k}r^2}\overline{\int_0^{2\pi}{r^{k-2}\mathrm%20e^{\mathrm%20(k-2)it}(a+re^{it})'\mathrm%20\dd%20t\,}}%3Cbr%20/%3E%3Cbr%20/%3E%3Cbr%20/%3E%3Cbr%20/%3E<br /> \end{eqnarray*}$

Aber bzgl. welcher Funktion?

11.05.2013, 19:25

Che Netzer

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Zitat:

Original von 12345678
Aber bzgl. welcher Kurve soll ich das als Kurvenintegral schreiben, bzgl der gleichen?

Ja.

Zitat:

Aber bzgl. welcher Funktion?

Was ist denn $\begin{eqnarray*} \left(r\mathrm e^{\mathrm it}\right)^{k-2} \end{eqnarray*}$ , wenn du darin ein $\begin{eqnarray*} z=a+r\mathrm e^{\mathrm it} \end{eqnarray*}$ suchst?

11.05.2013, 19:33

12345678

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ahh, stimmt,

$\begin{eqnarray*} f(z) = (z-a)^{k-2},<br /> <br /> also \ wird \ das \ Integral \ zu \int_{\gamma} (z-a)^{k-2} oder? \end{eqnarray*}$

11.05.2013, 19:40

12345678

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quatsch, hab schon wieder die Konjugation vergessen!
Muss dann

$\begin{eqnarray*} <br /> \overline{\int_{\gamma}%20(z-a)^{k-2}%20} <br /> \end{eqnarray*}$ heißen!

11.05.2013, 19:55

Che Netzer

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Ja, und dazu noch die Vorfaktoren und die Summe.
Jetzt verschwinden alle Integrale bis auf das für $\begin{eqnarray*} k=1 \end{eqnarray*}$ , dieses kannst du mit dem von dir im Usprungsbeitrag zitierten Satz behandeln.

11.05.2013, 20:05

12345678

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Wieso verschwindet alles außer für k=1 bei
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^\infty \overline{-f_kr^2}\overline{ \int_{\gamma} (z-a)^{(k-2)})} \end{eqnarray*}$ ?

11.05.2013, 20:06

Che Netzer

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Die restlichen Integranden besitzen eine Stammfunktion.

11.05.2013, 20:20

12345678

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ok, ja stimmt, dann hab ichs glaub ich verstanden:

$\begin{eqnarray*} ...=-r^2 \overline{f'(a)} \int_{\gamma} \frac{1}{z-a} \overset{Satz}{=} - 2 \pi ir^2\overline{f'a)} \end{eqnarray*}$

Aber irgendwo klappts mit dem Vorzeichen nicht.

11.05.2013, 20:20

Che Netzer

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Jetzt hast du wieder die komplexe Konjugation des Integrals vergessen Augenzwinkern

Augenzwinkern

11.05.2013, 20:24

12345678

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Hammer

stimmt, langsam wirds zur Gewohnheit Hammer

Hammer

Dann bekomm ich vom i noch ein Minus durch Konjugation und dann stimmts smile

smile

Vielen Dank!! Auf den Beweis wär ich allein nicht drauf gekommen!

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