Spiegelungsmatrix an Hyperebene

11.05.2013, 17:44	helftmir	Auf diesen Beitrag antworten »
Spiegelungsmatrix an Hyperebene Hallo, ich habe die Gleichung einder Hyperebene gegeben: $\begin{eqnarray} x_1+ 2x_2-x_3+x_4-x_5=0 \end{eqnarray}$ und muss die Spiegelungsmatrix angeben, die den $\begin{eqnarray} \mathbb R ^5 \end{eqnarray}$ an der Hyperebene spiegelt. Zu meiner Frage: Wie soll ich denn hier herangehen? Soll ich was mit der Householder-Matrix probieren? Sie projeziert ja einen Vektror v auf die Ebene und dann noch mal durch die Ebene, sodass sich der Vektor spiegelt. Bin ich so auf der richtigen Spur? Wenn ja, soll ich den Normalenvektor der Ebene nehmen? (Also: $\begin{eqnarray} v=\begin{pmatrix} 1\\2 \\ -1 \\1\\-1\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ). Ist das der richtige Ansatz? Wäre echt nett wenn mir jemand helfen könnte.
12.05.2013, 17:33	helftmir	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Spiegelungsmatrix an Hyperebene Hey, ist das die richtige Spiegelungsmatrix? $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0,75&0,5&-0,25&0,25&-0,25\\0,5&0&-0,5&0,5&-0,5 \\-0,25&-0,5&0,75&-0,25&,25\\0,25&0,5&-0,25&0,75&-0,25\\-0,25&-0,5&0,25&-0,25&0,75 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Ich habe die so berechnet: $\begin{eqnarray} H=E-2\frac{vv^T}{v^Tv} \end{eqnarray*}$
12.05.2013, 22:46	frank09	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Spiegelungsmatrix an Hyperebene Deine Matrix kann keine Spiegelungsmatrix sein, weil Eigenvektoren und Eigenwerte nicht passen. $\begin{eqnarray} H = I - \frac {2} {v^T v} v v^T \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} {v^T v} =8 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} v v^T= \begin{pmatrix}1&2 & -1 &1&-1 \\ 2&4 & -2 &2&-2 \\ -1&-2 & 1 &-1&1 \\ 1&2 & -1 &1&-1 \\ -1&-2 & 1 &-1&1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Änder bei allen Einträgen außerhalb der Diagonalen die Vorzeichen.
13.05.2013, 17:17	helftmir	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Spiegelungsmatrix an Hyperebene Hey, danke ermal für deine Antwort Wieso müssen denn die Vorzeichen geändert werden? Gibt es dafür einen Grund? Ist denn die Spiegelungsmatrix nur $\begin{eqnarray} vv^T \end{eqnarray*}$ ?
13.05.2013, 22:19	frank09	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Spiegelungsmatrix an Hyperebene Du hast einfach falsch gerechnet $\begin{eqnarray} H= \begin{pmatrix}1&0 & 0 &0&0 \\ 0&1 & 0 &0&0 \\ 0&0 & 1&0&0\\ 0&0 & 0 &1&0 \\ 0&0 & 0 &0&1 \end{pmatrix}-\frac {2} {8} \begin{pmatrix}1&2 & -1 &1&-1 \\ 2&4 & -2 &2&-2 \\ -1&-2 & 1 &-1&1 \\ 1&2 & -1 &1&-1 \\ -1&-2 & 1 &-1&1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Jetzt minus zwei Achtel/ein Viertel hineinmultiplizieren: $\begin{eqnarray} H= \begin{pmatrix}1&0 & 0 &0&0 \\ 0&1 & 0 &0&0 \\ 0&0 & 1&0&0\\ 0&0 & 0 &1&0 \\ 0&0 & 0 &0&1 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix}-0,25&-0,5 & 0,25 &-0,25&0,25 \\ -0,5&-1 & 0,5 &-0,5&0,5 \\ 0,25&0,5 & -0,25 &0,25&-0,25 \\- 0,25&-0,5 & 0,25 &-0,25&0,25\\ 0,25&0,5 & -0,25 &0,25&-0,25 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Addition ergibt die gesuchte Matrix. Wie schon erwähnt, kannst du zur Kontrolle bei einem Online-Matrix-Rechner Eigenvektoren/-werte errechnen lassen. Normalenvektor v muss EV zum EW=-1 sein, vier weitere, dazu senkrechte, müssen EVs zum EW=1 sein.

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