Kurve einfach geschlossen

11.05.2013, 22:21

Sway

Kurve einfach geschlossen

Hello,

ich habe hier folgende Aufgabenstellung:

$\begin{eqnarray*} c(t) = (sin(t)cos(t),cos^2(t)) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} t \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

Ich soll zeigen, dass c eine einfach geschlossene regulär parametrisierte ebene Kurve ist und die Periode ermitteln.

Also das meiste habe ich bereits berechnet. Nur bei dem einfach geschlossen habe ich noch einen Denkfehler..

Die Kurve ist geschlossen, die Periode ist Pi. Also bleibt noch zu zeigen, dass sie auf [0,Pi) injektiv ist.

Definition Injektivität: $\begin{eqnarray*} f(x_1) = f(x_2) \Rightarrow x_1 = x_2 \end{eqnarray*}$

Jetzt ist aber $\begin{eqnarray*} sin(\frac{\pi}{2})cos(\frac{\pi}{2}) = sin(0)cos(0) = 0 \end{eqnarray*}$

und damit wäre $\begin{eqnarray*} t_1 \neq t_2 \end{eqnarray*}$ und somit nicht injektiv

Ich soll aber zeigen, dass sie einfach geschlossen ist..dadurch wäre sie das aber nicht...wo liegt mein Denkfehler?

11.05.2013, 22:40

Che Netzer

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RE: Kurve einfach geschlossen

Zitat:

Original von Sway
Jetzt ist aber $\begin{eqnarray*} sin(\frac{\pi}{2})cos(\frac{\pi}{2}) = sin(0)cos(0) = 0 \end{eqnarray*}$

und damit wäre $\begin{eqnarray*} t_1 \neq t_2 \end{eqnarray*}$ und somit nicht injektiv

An der Stelle $\begin{eqnarray*} t=\frac\pi2 \end{eqnarray*}$ mag zwar die erste Koordinate gleich der an der Stelle $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ sein, die zweite aber nicht.

11.05.2013, 23:06

Sway

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Ahh..danke, also kann ich die beiden nicht getrennt voneinander betrachten oder?

Dann wäre es vermutlich am besten sie zu dividieren, also:

$\begin{eqnarray*} \frac{sin(t_1)cos(t_1)}{cos^2(t_1)} = \frac{sin(t_2)cos(t_2)}{cos^2(t_2)} \end{eqnarray*}$

darf ich das? dann muss ich fallunterscheidungen machen, damit der nenner nicht 0 wird oder?

11.05.2013, 23:08

Che Netzer

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Zitat:

Original von Sway
Dann wäre es vermutlich am besten sie zu dividieren

Nein... Hast du denn noch nie zwei Vektoren gleichgesetzt?

11.05.2013, 23:17

Sway

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Nein..aber man kann/darf dividieren oder?

Was wäre denn eine bessere Alternative?

11.05.2013, 23:20

Che Netzer

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Wenn der Quotient der beiden Koordinaten gleich wäre, könnten sich die beiden Vektoren immer noch um skalare Vielfache unterscheiden (siehe auch "homogene Koordinaten").

Die "Alternative" wäre, ein Gleichungssystem aufzustellen.

11.05.2013, 23:46

Sway

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Auweiha, ich dachte, das wäre schon sowas in die Richtung..

Hm, ok...Gleichungssystem hab ich, dann hab ich versucht geeignete Additionstheoreme zu finden, aber leider ohne Erfolg, lässt sich nicht viel machen mit dem cos^2..

Zumindestens nichts was man mit Addition lösen könnte..

11.05.2013, 23:50

Che Netzer

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Wenn $\begin{eqnarray*} \cos^2t_1=\cos^2t_2 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} t_1,t_2\in[0,\pi) \end{eqnarray*}$ muss entweder $\begin{eqnarray*} t_1=t_2 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} t_1+t_2=\pi \end{eqnarray*}$ (also $\begin{eqnarray*} \cos t_1=-\cos t_2 \end{eqnarray*}$ ) gelten.
Im zweiten Fall ist jedoch der Sinus gleich.

Überlege dir, wieso diese Argumentation funktioniert.

12.05.2013, 00:15

Sway

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Ok danke, leuchtet ein!

Aber das gilt ja nur für die zweite Koordinate, ich dachte man soll sie nicht getrennt voneinander betrachten?

Zitat:

Original von Che Netzer
Im zweiten Fall ist jedoch der Sinus gleich.

Was meinst du damit?

12.05.2013, 00:22

Che Netzer

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Zitat:

Original von Sway
Aber das gilt ja nur für die zweite Koordinate, ich dachte man soll sie nicht getrennt voneinander betrachten?

Ich habe keine Aussagen über die Komponenten des Vektors gemacht...
Wenn wir aber das Gleichungssystem lösen wollen, können wir zunächst eine Bedingung angeben, die erfüllt sein muss, damit die zweite Gleichung gilt. Diese "verschärfen" wir mithilfe der ersten, bis wir $\begin{eqnarray*} t_1=t_2 \end{eqnarray*}$ erhalten.

Anders formuliert:
Unter den Voraussetzungen $\begin{eqnarray*} \cos t_1\sin t_1=\cos t_2\sin t_2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \cos^2t_1=\cos^2t_2 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} t_1,t_2\in[0,\pi) \end{eqnarray*}$ zeigen wir $\begin{eqnarray*} t_1=t_2 \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Was meinst du damit?

Dass im Fall $\begin{eqnarray*} t_1+t_2=\pi \end{eqnarray*}$ die Gleichung $\begin{eqnarray*} \sin t_1=\sin t_2 \end{eqnarray*}$ folgt.

12.05.2013, 00:44

Sway

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Sorry, hatte ich anscheinend fälschlicherweise angenommen..

Aber das heißt ja, dass es zwei Lösungen gibt, es kann ja $\begin{eqnarray*} t_2 = \pi - t_1 \end{eqnarray*}$ sein??

Zitat:

Original von Che Netzer
Dass im Fall $\begin{eqnarray*} t_1+t_2=\pi \end{eqnarray*}$ die Gleichung $\begin{eqnarray*} \sin t_1=\sin t_2 \end{eqnarray*}$ folgt.

Wieso folgt das? Also ich weiß, dass $\begin{eqnarray*} sin(x) = sin(\pi - x) \end{eqnarray*}$ , aber wieso kann ich das jetzt einfach für t_1 und t_2 verwenden? Und was bringt mir das? Muss ich das für die erste Koordinate einsetzen?

12.05.2013, 00:50

Che Netzer

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Zitat:

Original von Sway
Aber das heißt ja, dass es zwei Lösungen gibt, es kann ja $\begin{eqnarray*} t_2 = \pi - t_1 \end{eqnarray*}$ sein??

Und das schließen wir dann durch Betrachten der ersten Komponente aus.

Zitat:

Wieso folgt das? Also ich weiß, dass $\begin{eqnarray*} sin(x) = sin(\pi - x) \end{eqnarray*}$

Daraus folgt doch alles verwirrt

Dann ist nämlich
$\begin{eqnarray*} \sin t_2=\sin(\underbrace{\pi-t_2}_{=t_1})=\sin t_1\,. \end{eqnarray*}$

13.05.2013, 13:28

Sway

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Danke, verstanden!

Der Sinus schließt den Fall aus, somit gilt das auch für Sin(t)Cos(t) und natürlich auch für Cos^2(t)!

Herzlichen Dank!!

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