Eigenraum berechnen

11.05.2013, 22:27	Solitaire77	Auf diesen Beitrag antworten »
Eigenraum berechnen Hallo liebes Forum, ich weiss wie man zu einer gegebenen Matrix die Eigenwerte und die Eigenvektoren berechnet. Leider verstehe ich jedoch nicht, wie man einen Eigenraum dazu berechnet. Mich würde deshalb 2 Fragen interessieren. Wie komme ich auf den Eigenraum? Und wie viele Eigenräume gibt es zu einer Matrix? Sind diese eventuell abhängig zu den Eigenwerteb-/Vektoren?
11.05.2013, 22:50	Solitaire77	Auf diesen Beitrag antworten »
Kann es sein, dass man Eigenräume nur zu berechneten Eigenwerten bestimmen kann? Und wenn das stimmt, ist folgendes korrekt ? Gegeben ist die Matrix A=\begin{pmatrix} 1 & 3 & 4 \\ 5 & 6 & 7 \\ 8 & 9 & 9 \end{pmatrix} Nun berechne ich von dieser Matrix die Eigenwerte. Die Eigenwerte die herausgekommen sind, geben auch die Anzahl der Eigenräume an. Zum Beispiel bei 2 Eigenwerten kann es nur zwei Eigenräume geben. Die Eigenräume berechne ich wie folgt: Ich setze einfach die berechneten Eigenwerte in in die Folgende Gleichung bzw. Matrix ein: det(A-\lambda E) In diesem Fall werden die Eigenwerte wie folgt eingefügt: \begin{pmatrix} 1-\lambda & 3 & 4 \\ 5 & 6-\lambda & 7 \\ 8 & 9 & 9-\lambda \end{pmatrix} Nach dem ich nun in diese Matrix die berechneten Eigenwerte hier als lambda bezeichnet einsetze kommt eine neue Matrix heraus. Hier von berechne ich dann einfach den Kern, in dem ich Ax=0 berechne. Der Kern dieser Matrix ist gleich der Eigenraum des bezogenen Eigenwerts. Ist das korrekt? mfg
11.05.2013, 22:53	Solitaire77	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich werde mir sofort einen Accountnamen machen, ich kann leider nicht editieren, deshalb muss ich nochmal kurz antworten. Tut mir leid. Kann es sein, dass man Eigenräume nur zu berechneten Eigenwerten bestimmen kann? Und wenn das stimmt, ist folgendes korrekt ? Gegeben ist die Matrix $\begin{eqnarray} A=\begin{pmatrix} 1 & 3 & 4 \\ 5 & 6 & 7 \\ 8 & 9 & 9 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Nun berechne ich von dieser Matrix die Eigenwerte. Die Eigenwerte die herausgekommen sind, geben auch die Anzahl der Eigenräume an. Zum Beispiel bei 2 Eigenwerten kann es nur zwei Eigenräume geben. Die Eigenräume berechne ich wie folgt: Ich setze einfach die berechneten Eigenwerte in in die Folgende Gleichung bzw. Matrix ein: $\begin{eqnarray} det(A-\lambda E) \end{eqnarray}$ In diesem Fall werden die Eigenwerte wie folgt eingefügt: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1-\lambda & 3 & 4 \\ 5 & 6-\lambda & 7 \\ 8 & 9 & 9-\lambda \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Nach dem ich nun in diese Matrix die berechneten Eigenwerte hier als lambda bezeichnet einsetze kommt eine neue Matrix heraus. Hier von berechne ich dann einfach den Kern, in dem ich Ax=0 berechne. Der Kern dieser Matrix ist gleich der Eigenraum des bezogenen Eigenwerts. Ist das korrekt? mfg
11.05.2013, 22:58	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
Jap, weitestgehend korrekt.
12.05.2013, 00:12	Solitaire77	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich komme mir jetzt etwas dämlich vor, kann es aber sein das der Eigenraum und der Eigenvektor exakt dasselbe sind ?
12.05.2013, 07:59	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, der Eigenraum ist der von dem Eigenvektoren aufgespannte Vektorraum.
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12.05.2013, 11:54	Solitaire77	Auf diesen Beitrag antworten »
Werden aber beide nicht nach dem selben Schema berechnet? Und wenn daqs stimen solle, dann entscheidet letztendlich die Darstellung der berechneten Eigenvektoren ob es sich um Eigenvektoren oder Eigenräume handelt oder?
12.05.2013, 17:55	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
Du berechnest die Eigenvektoren und diese spannen dann einen Raum auf. Der Unterschied zwischen Vektor und Vektorraum sollte aber bereits behandelt worden sein, wenn man sich an Eigenräume macht.

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