Differentialgleichung

11.05.2013, 23:17

beste

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Differentialgleichung

Meine Frage:
Hallo leute ich habe gerade probleme bei einer Aufgabe:

Lösen sie das Anfangswertproblem:

y'' - 5y' +6y = 2*e^x

a_1 = 3 a_2 = 2

y_h = c_1*e^3x + c_2*e^2x

Soll ich jetzt für die Störfunktion den Ansatz

y = A*x*e^x nehmen?

Meine Ideen:
gepostet

11.05.2013, 23:22

Che Netzer

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RE: Dgl

Zitat:

Original von beste
a_1 = 3 a_2 = 2

Was soll das? verwirrt

verwirrt

Zitat:

Soll ich jetzt für die Störfunktion den Ansatz

y = A*x*e^x nehmen?

Nein, da $\begin{eqnarray*} \mathrm e^x \end{eqnarray*}$ keine Lösung der homogenen Gleichung ist (der Resonanzfall tritt nicht ein), brauchst du hier nicht noch mit $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ zu multiplizieren.

11.05.2013, 23:27

beste

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RE: Dgl

Zitat:

Original von Che Netzer

Zitat:

Original von beste
a_1 = 3 a_2 = 2

Was soll das? verwirrt

verwirrt

Zitat:

Soll ich jetzt für die Störfunktion den Ansatz

y = A*x*e^x nehmen?

Nein, da $\begin{eqnarray*} \mathrm e^x \end{eqnarray*}$ keine Lösung der homogenen Gleichung ist (der Resonanzfall tritt nicht ein), brauchst du hier nicht noch mit $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ zu multiplizieren.

Ich hatte das gemeint :

charakteristisches polynom ausgerechnet:

$\begin{eqnarray*} a_1 = 3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_2 =2 \end{eqnarray*}$

Soll ich das hier als störfunktion nehmen?

$\begin{eqnarray*} A*e^x \end{eqnarray*}$

Weil 1 ist ja keine lösung des charakteristischen polynom.

11.05.2013, 23:30

Che Netzer

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RE: Dgl
Dann wolltest du also aussagen, dass Drei und Zwei die Nullstellen des charakteristischen Polynoms sind. Schreib das auch, es ist nämlich völlig unklar, was $\begin{eqnarray*} a_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a_2 \end{eqnarray*}$ sein sollen, wenn du das nicht erwähnst.

Nun fehlt aber noch eine Anfangsbedingung, sonst ist es kein Anfangswertproblem.

Zitat:

Original von beste
Soll ich das hier als störfunktion nehmen?

$\begin{eqnarray*} A*e^x \end{eqnarray*}$

Weil 1 ist ja keine ~~lösung~~ Nullstelle des charakteristischen polynom.

Ja, der Ansatz ist gut.

11.05.2013, 23:34

beste

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Anfangswert:

y(0) = 3

y'(0) = 6

Soll ich bei A*e^x produktregel anwenden?

11.05.2013, 23:35

Che Netzer

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Wenn es dir Spaß bereitet...
Allerdings ist $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ eine Konstante, d.h. die Produktregel brauchst du gar nicht.

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12.05.2013, 00:16

beste

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Wäre die erste Ableitung :

y' = e^x ?

12.05.2013, 00:23

Che Netzer

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Jetzt hast du die Konstante verschwinden lassen. Wieso das?

12.05.2013, 00:24

beste

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Naja ok .

Dann wären das wohl die Ableitungen:

y' = A*e^x

y'' = A*e^x

Stimmt das ?

12.05.2013, 00:25

Che Netzer

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Ja, das stimmt.

12.05.2013, 00:29

beste

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Eingesetzt bekomme ich für A = 1 raus und damit die homogene Dgl:

y_h = 1*e^x

Soweit richtig ?

Muss ich das hier y(0) = 3 in die homogene Dgl einsetzen?

12.05.2013, 00:31

Che Netzer

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Du erhältst eine Lösung der inhomogenen DGL, nicht die homogene DGL.

Und bevor du jetzt die Anfangswerte einsetzt, solltest du erstmal die allgemeine Lösung aufschreiben.

12.05.2013, 00:34

beste

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Allg. Lösung :

$\begin{eqnarray*} y(x) = c_1*e^3x + c_2*e^2x + 1*e^x \end{eqnarray*}$

Aber wie gehe ich jetzt weiter vor?

12.05.2013, 00:36

Che Netzer

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Schöner:
$\begin{eqnarray*} y(x)=c_1\mathrm e^{3x}+c_2\mathrm e^{2x}+\mathrm e^x\,. \end{eqnarray*}$
Jetzt verwende $\begin{eqnarray*} y(0)=3 \end{eqnarray*}$ , d.h. setze diese Werte oben ein.

12.05.2013, 00:39

beste

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Dann hätte ich das stehen:

$\begin{eqnarray*} 3 = C_1 + C_2 +1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} C_1 + C_2 = 2 \end{eqnarray*}$

Stimmt es soweit ?

Wie gehe ich weiter vor?

12.05.2013, 00:41

Che Netzer

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Die zweite Gleichung sieht bei mir anders aus.
Edit: Ach so, das war nur die Umformung. Die stimmt natürlich.

12.05.2013, 00:42

beste

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Wieso was ist daran falsch?

12.05.2013, 00:44

beste

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Ah ok gut , aber wie gehe ich weiter vor?

12.05.2013, 00:46

Che Netzer

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Jetzt musst du noch die zweite Anfangsbedingung verwerten, von der ich dachte, sie wäre in deine zweite Gleichung eingegangen.

12.05.2013, 00:52

beste

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y'(0) = 6

Wo soll ich das jetzt genau benutzen?

verwirrt

verwirrt

12.05.2013, 00:54

Che Netzer

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Bilde $\begin{eqnarray*} y' \end{eqnarray*}$ und setze wie eben die angegebenen Werte ein, um eine zweite Gleichung für $\begin{eqnarray*} c_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} c_2 \end{eqnarray*}$ zu erhalten.

12.05.2013, 00:55

beste

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Soll ich dafür die Ursprungsfunktion nach y' auflösen?

12.05.2013, 00:57

Che Netzer

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Nein, du sollst die allgemeine Lösung ableiten.

12.05.2013, 01:04

beste

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Ich bekomme dann für C_1 = 1

und C_2 = 1 und C_1 = 1

raus .

Stimmt das?

12.05.2013, 01:18

Che Netzer

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Ja.

12.05.2013, 01:24

beste

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Che ich habe noch eine schwere Aufgabe bei der ich nicht weiter komme , kannst du mir hier auch helfen ?

Bestimmen sie die Koordinaten des Flächenpunktes p ( x_0 / y_0 / z_0 ) und die Gleichung der Tangentialebene in p für :

$\begin{eqnarray*} z= 3*\sqrt{\frac{x^2}{y} }+2cos* [ pi*(x+2y) ] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_0 = 2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y_0 = 1 \end{eqnarray*}$

Hast du tipps für mich?

12.05.2013, 01:29

Che Netzer

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Eröffne dazu mal einen neuen Thread; hierhin passt das nun wirklich nicht.
Wenn sich bis dahin niemand drum kümmert, antworte ich da "morgen".
Aber du kannst ja schonmal versuchen, $\begin{eqnarray*} z_0 \end{eqnarray*}$ zu bestimmen.

12.05.2013, 01:32

beste

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Wie berechnen ich das z_0 ?

12.05.2013, 01:34

Che Netzer

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Zitat:

Original von Che Netzer
Eröffne dazu mal einen neuen Thread; hierhin passt das nun wirklich nicht.

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