Gruppenaxiome überprüfen

12.05.2013, 08:06

baxbear

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Gruppenaxiome überprüfen

Hi,

ich habe bei der Aufgabe 4 Teilaufgaben:
a)
G:=\mathbb{R}\; mit\; a°b:=\frac{a}{b}\; für\; a,b\in G
b)
G:=Pot(A):={X|X\subseteq A}(Potenzmenge\; einer\; Menge\; A\neq\emptyset )\; mit\; X°Y:=X\cap Y\; für\; X,Y\in G
c)
G:=Pot(A):={X|X\subseteq A}(Potenzmenge\; einer\; Menge\; A\neq\emptyset )\; mit\; X°Y:=X\cup Y\; für\; X,Y\in G
d)
G:=\{ f(t):=\frac{a_0}{2}+\sum_{k=1}^{n}{a_k\cdot cos(kt)|a_i,b_i\in\mathbb{R}, n\in\mathbb{N}\}\; mit\; f°g:=f+g\; für\; f,g\in G

Also ich habe bisher:
a) nicht assoziativ weil a°(b°c)=\frac{a}{\frac{b}{c}}\neq\frac{\frac{a}{b}}{c}
b) kein inverses/neutrales Element - wie zeigt man dies?
c) kein inverses Element - wie zeigt man dies?
d) theoretisch eine Gruppe, ich vermute, dass ich den Inhalt der Funktion zur Bestimmung der Gruppe nicht betrachten muss. - also Addition ist assoziativ, inverses Element zu a ist -a und das neutrale Element ist 0. Kommutativ ist die Operation auch, daher ist es sogar eine abelsche Gruppe.
Muss ich bei d) näher ins Detail gehen?

PS.: Ich habe mich einige Zeit mit Latex hier im Forum versucht und weitestgehend aufgegeben, die Vorschau Funktion meinte immer wieder, dass das Forum latexresistent sei.

Würde mich freuen wenn mir jemand sagt warum mein Latexcode nicht angenommen wird. (Latextags wegen Lesbarkeit entfernt)

12.05.2013, 08:22

ollie3

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RE: Gruppenaxiome überprüfen
hallo,
jammerschade, dass das mit dem latex nicht geklappt hat...
Kann das sein, dass du vergessen hast, vor einer latex-zeile immer "latex"
und hinterher immer "/latex" (beides in eckigen klammern) zu schreiben.
Dann müsste das eigentlich gehen.
gruss ollie3

12.05.2013, 08:24

lgrizu

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RE: Gruppenaxiome überprüfen
Die a ist ja scheinbar klar.

zu b): Asoosziativität gilt und ein neutrales Element existiert auch, welches ist das? Dann kann man zeigen, dass es $\begin{eqnarray*} X \subseteq A \end{eqnarray*}$ gibt, die kein Inverses besitzen.

zu c): Hier die selbe Frage wie zu b), was ist ds neutrale Element?

12.05.2013, 08:43

baxbear

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b) Achso das neutrale Element bei Mengen, müsste dann die Menge sein, die alle Teilmengen von A enthält.
also $\begin{eqnarray*} X\subseteq A\; und\; A\subseteq X \end{eqnarray*}$
c) hier scheint es doch kein neutrales Element zu geben, da die leere Menge ja nicht enthalten ist oder?
PS.:[.latex][./latex] hatte ich entfernt, dass wenigstens der Code angezeigt wird. Er hatte davor immer weiße Kästchen mit verschiedenen Fehlermeldungen eingeblendet wie: "Missing Number" ka was für eine Zahl da fehlt

12.05.2013, 08:53

lgrizu

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Zitat:

Original von baxbear
b) Achso das neutrale Element bei Mengen, müsste dann die Menge sein, die alle Teilmengen von A enthält.
also $\begin{eqnarray*} X\subseteq A\; und\; A\subseteq X \end{eqnarray*}$

Nicht alle Teilmengen (das wäre dann ja die Menge P(A), also die Potenzmenge von A, aber das ist hier ja die Grundmenge aus der sich die Elemente rekrutieren), alle Elemente von A müssen drin liegen, welche Menge ist das also?

Zitat:

Original von baxbear
c) hier scheint es doch kein neutrales Element zu geben, da die leere Menge ja nicht enthalten ist oder?

Wieso ist denn die leere Menge nicht in P(A) enthalten? verwirrt

verwirrt

12.05.2013, 09:08

baxbear

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Die Menge, die Alle Elemente aus A enthält. Da dann für:
$\begin{eqnarray*} X\cap Y=Y \end{eqnarray*}$ gilt.
Und es gibt kein inverses Element, da es keine Menge gibt für die gilt:
$\begin{eqnarray*} Y\cap Z=X \end{eqnarray*}$ muss ich dies irgendwie weiter ausführen?

naja in der Aufgabenstellung steht ja:
$\begin{eqnarray*} A\neq\emptyset \end{eqnarray*}$
also A ungleich der leeren Menge, dachte, dass die dann nicht vorkommt.

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12.05.2013, 09:17

lgrizu

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Zitat:

Original von baxbear
Die Menge, die Alle Elemente aus A enthält. Da dann für:
$\begin{eqnarray*} X\cap Y=Y \end{eqnarray*}$ gilt.
Und es gibt kein inverses Element, da es keine Menge gibt für die gilt:
$\begin{eqnarray*} Y\cap Z=X \end{eqnarray*}$ muss ich dies irgendwie weiter ausführen?

Welche Menge ist das denn, die alle Elemente aus A enthält? das ist doch die Menge A selbst.....

Zitat:

Original von baxbear
naja in der Aufgabenstellung steht ja:
$\begin{eqnarray*} A\neq\emptyset \end{eqnarray*}$
also A ungleich der leeren Menge, dachte, dass die dann nicht vorkommt.

Das bedeutet doch ledicglich, dass die Menge A ungleich der leeren Menge ist, eine Teilmenge von A ist die leere Menge dennoch...

12.05.2013, 09:38

baxbear

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b) dann ist A das neutrale Element - sollte in der Antwort zuvor das X sein (welches alle Elemente aus A enthält)
ein inverses gibt es nicht

c) das neutrale Element ist hier $\begin{eqnarray*} X=\emptyset \end{eqnarray*}$
und das inverse existiert nicht

d) lag ich hier mit meiner vermutung richtig, dass der Inhalt der Funktionen unwichtig ist und ich nur die Addition an sich auf eine Gruppe überprüfen muss?

12.05.2013, 09:42

lgrizu

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Du schreibst einfach irgendwelche Behauptungen auf, ohne zu rechnen.

Bleiben wir doch erst mal bei der b)

Warum existiert kein Inverses für die meisten Elemente aus P(A) ?

12.05.2013, 10:03

baxbear

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$\begin{eqnarray*} X\cap Y=A\;mit\;X\subset A\;\vee\;Y\subset A \end{eqnarray*}$
1. Fall
$\begin{eqnarray*} X\subset A\wedge Y=A\Rightarrow X\wedge Y=X \end{eqnarray*}$
2.Fall
$\begin{eqnarray*} Y\subset A\wedge X=A\Rightarrow Y\wedge X=Y \end{eqnarray*}$
wenn beides echte Teilmengen von A sind ist das Ergebnis auch eine echte Teilmenge von A

somit gilt $\begin{eqnarray*} X\wedge Y\ne A \end{eqnarray*}$
also ist kein inverses Element vorhanden.

12.05.2013, 10:11

lgrizu

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Der erste und der zweite Fall sind eigentlich identisch.

Ich würde die Fälle betrachten:

1.) X und Y sind disjunkt

2.) X (oder Y) ist echte Teilmenge von A (das sind deine beiden Fälle)

Der Fall 2 untergliedert sich in: 2a) X ist Teilmenge von Y und 2b) X ist keine Teilmenge von Y

Das ist etwas allgemeiner und du hast alle Fälle abgedeckt.

Das kannst du ja mal durchrechnen und dann posten.

Kommen wir zur c):

Das neutrale haben wir schon, wie sieht dein Beweis aus?

12.05.2013, 10:25

baxbear

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naja bei c) muss ich ja nicht viel schreiben:
$\begin{eqnarray*} X=\emptyset\;\; Y\subseteq A \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} X\cup Y=\emptyset\cup Y=Y\subseteq A \end{eqnarray*}$

denke dies stimmt

Viel interessanter finde ich, was genau geschrieben werden muss um zu zeigen, dass es kein inverses Element gibt.
[.latex]\nexists X\cup Y=\emptyset\; für\; X\ne\emptyset\; oder\; Y\neq\emptyset[/latex]

12.05.2013, 10:31

lgrizu

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Bitte bemühe dich, Latex richtig zu verwenden oder benutze ganze Sätze.

Du möchtest also zeigen, dass für X Teilmenge A kein Y Teilmenge A existiert, so dass X vereinigt mit Y die leere Menge ergibt?

Das versuche jetzt mal zu zeigen, ich fände das auch interessant, denn es gibt Inverse bezüglich dieser Verknüpfung.....

12.05.2013, 10:52

baxbear

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Also ich denke, dass ich Latex richtig verwende - ich schreibe teilweise ganze Dokumente in Latex nur scheinen der Forensoftware eine ganze Reihe Latexbefehle nicht bekannt zu sein

Der einzige Fall in c) für den die Verknüpfung durch ein logisches oder 2er Mengen die leere Menge ergibt ist der in der beide Mengen selbst die leere Menge sind. Andernfalls kommt immer die Vereinigungsmenge der Mengen heraus.
Somit dürfte es im allgemeinen kein inverses Element geben.

12.05.2013, 10:57

lgrizu

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Natürlich kommt immer die Vereinigungsmenge heraus, das ist so bei einer Vereinigung, die Frage ist doch aber, wann diese Vereinigungsmende gerade der leeren Menge entspricht. Und dass es für eine feste (aber beliebige) Menge X keine Menge Y gibt, so dass X vereinigt Y gleich die leere Menge ist, dafür möchte ich gerne einen beweis sehen. Wie gesagt, es ist nämlich nicht so! Ein Inverses bezüglich der Vereinigung existiert und ist eindeutig!

12.05.2013, 11:24

baxbear

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Oh, man der Thread wird lang...

Wenn ich die leere Menge mit der leeren Menge vereinige kommt die leere Menge heraus also das neutrale Element.
Wenn ich allerdings eine beliebige Menge mit einer beliebigen Menge vereinige bei der allerdings nur eine die leere Menge sein darf, dann kommt eine Menge ungleich der leeren Menge heraus, da alle Elemente der nicht leeren Menge auch zur Vereinigungsmenge gehören. Damit kann es kein inverses Element geben.

Zu mindest bin ich zu blöd dieses andernfalls zu finden. Wäre nett wenn sie meinen Beweis(wenn er als das bezeichnet werden darf) widerlegen. Ich sehe keine Lücke darin.

12.05.2013, 11:37

lgrizu

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Ach Käse, hats natürlich recht, ich habe gearde an den Schnitt gedacht und das Komplement, nee, ist alles gut, habe mich ein wenig verrant.

Hier existiert kein Inverses, ist natürlcih richtig.

Zeige wieder:

X und Y disjunkt

X Teilmenge von Y usw.......

12.05.2013, 12:18

Che Netzer

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RE: Gruppenaxiome überprüfen
Kurz zum $\begin{eqnarray*} \text{\LaTeX} \end{eqnarray*}$ -Problem:
Das Zeichen ü kann dort nicht verwendet werden. Und ° ist übrigens nicht sehr schön.
Benutze stattdessen \circ und setze Wörter in \text{...}

In der d) war außerdem eine Klammer { zu viel.
Hier mit diesen und weiteren Korrekturen die Definitionen:
a)
$\begin{eqnarray*} G:=\mathbb{R}\; \text{mit}\; a\circ b:=\frac{a}{b}\; \text{für}\; a,b\in G \end{eqnarray*}$
b)
$\begin{eqnarray*} G:=\operatorname{Pot}(A):=\{X|X\subseteq A\}\ (\text{Potenzmenge einer Menge}\; A\neq\emptyset )\ \text{mit}\; X\circ Y:=X\cap Y\; \text{für}\; X,Y\in G \end{eqnarray*}$
c)
$\begin{eqnarray*} G:=\operatorname{Pot}(A):=\{X|X\subseteq A\}\ (\text{Potenzmenge einer Menge}\; A\neq\emptyset )\ \text{mit}\; X\circ Y:=X\cup Y\; \text{für}\; X,Y\in G \end{eqnarray*}$
d)
$\begin{eqnarray*} G:=\left\{f(t):=\frac{a_0}{2}+\sum_{k=1}^{n}a_k\cdot cos(kt)|a_i,b_i\in\mathbb{R}, n\in\mathbb{N}\right\}\; \text{mit}\; f\circ g:=f+g\; \text{für}\; f,g\in G \end{eqnarray*}$

Bei der a) ist $\begin{eqnarray*} (G,\circ) \end{eqnarray*}$ natürlich keine Gruppe, aber nicht weil $\begin{eqnarray*} \circ \end{eqnarray*}$ nicht assoziativ ist – die Verknüpfung ist überhaupt nicht wohldefiniert!

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