Komplexe Zahlen

12.05.2013, 10:51

mech_92

Komplexe Zahlen

Meine Frage:

Berechnen Sie
exakt den dekadischen Logarithmus z von x = -1000

Meine Ideen:
Ich habe leider keinen ansatz wie das funktionieren soll ich kenne solche aufgaben nur in der art z= 3+4j

12.05.2013, 12:20

Guppi12

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Wenn dir das leichter fällt, bitte:

$\begin{eqnarray*} \text{Berechnen Sie exakt den dekadischen Logarithmus von }z = -1000+0j \end{eqnarray*}$

?

12.05.2013, 18:57

mech_92

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oh okay das hätte mir auch auffallen können ^^

$\begin{eqnarray*} -1000+j0 = 1000e^{180°} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ln(1000)+ln(e^{180°} ) \end{eqnarray*}$

Ist das soweit richtig?

rechts fällt ja jetzt der ln weg wegen der e- funktion dann bleibt nur noch 180° stehen ich weiß allerdings nicht wie es weiter geht

12.05.2013, 21:31

Che Netzer

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Genau genommen ist $\begin{eqnarray*} 180^0 \end{eqnarray*}$ Eins; du meinst $\begin{eqnarray*} 180^\circ \end{eqnarray*}$ , wofür aber besser $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ geschrieben wird. In jedem Fall fehlt ein $\begin{eqnarray*} \mathrm j \end{eqnarray*}$ davor.

Außerdem ist der dekadische, nicht der natürliche Logarithmus zu berechnen.

Wenn du das fehlende $\begin{eqnarray*} \mathrm j \end{eqnarray*}$ einfügst, kannst du $\begin{eqnarray*} \log_{10}\mathrm e^{\mathrm j\pi} \end{eqnarray*}$ etwas vereinfachen.

Zu beachten ist auch, dass das Ergebnis nur im Zylinder $\begin{eqnarray*} \mathbb C/\frac{2\pi\mathrm j}{\ln10}\mathbb Z \end{eqnarray*}$ definiert ist.

12.05.2013, 23:16

mech_92

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$\begin{eqnarray*} 10^{e^{i\pi }+Log(1000) } \end{eqnarray*}$ ist das so richtig?

Wie ist das gemeint mit der Definition im Zylinder?

12.05.2013, 23:19

Che Netzer

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Zitat:

Original von mech_92
$\begin{eqnarray*} 10^{e^{i\pi }+Log(1000) } \end{eqnarray*}$ ist das so richtig?

Das ist ein Term. Ein Term kann nicht richtig sein, höchstens eine Aussage.
Was soll das also sein?

Zitat:

Wie ist das gemeint mit der Definition im Zylinder?

Das soll heißen, dass der Logarithmus im Komplexen nicht eindeutig, sondern mehrwertig bzw. eine Äquivalenzklasse ist.
Es sei denn, ihr habt euch auf einen bestimmten Repräsentanten geeinigt.

17.05.2013, 15:43

mech_92

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Ich hab jetzt folgendes raus

$\begin{eqnarray*} z= \frac{Ln(1000)}{Ln(10)} +i\frac{\pi +k2\pi }{Ln(10)} \end{eqnarray*}$

ist das so richtig??

17.05.2013, 16:28

Che Netzer

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Ja, wobei $\begin{eqnarray*} k\in\mathbb Z \end{eqnarray*}$ .

(nun also doch $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} j \end{eqnarray*}$ ?)

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