Konvergenz einer Folge mit Binomialkoeffizient

12.05.2013, 14:29	MatheNoobii	Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz einer Folge mit Binomialkoeffizient Hallo, ich komme hier bei einer Folge nicht weiter: Man soll das Konvergenzverhalten untersuchen und gegebenfalls den Grenzwert bestimmen: $\begin{eqnarray} a_n = \frac{n^3}{\begin{pmatrix} 2n \\ n \end{pmatrix} }= \frac{n^3} {\frac{(2n)!}{n! \cdot (2n-n)!}} = \frac{n^3} {\frac{(2n)!}{n! \cdot n!}} = \frac{n^3 \cdot n! \cdot n! } {(2n)!}= \end{eqnarray}$ Passt es bisher? Ab hier weiß ich nicht weiter ...
12.05.2013, 15:11	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Könntest du zeigen, dass die Reihe über $\begin{eqnarray} \frac{n^3 \cdot n! \cdot n! } {(2n)!} \end{eqnarray}$ konvergiert? (zB mit Quotientenkriterium) Oder hattet ihr noch keine Reihen? Falls doch, würdest du Konvergenzverhalten und Grenzwert in einem erschlagen.
12.05.2013, 15:23	MatheNoobii	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay ich probiers mal! Danke für die Anwort
12.05.2013, 16:11	MatheNoobii	Auf diesen Beitrag antworten »
Passt das nun so? $\begin{eqnarray} \lim_{k \to \infty } \|\frac{a_{k+1}}{a_k} \| = \frac{(n+1)^3 \cdot (n+1)! \cdot (n+1)! \cdot (2n)! } {(2n+2)! \cdot n^3 \cdot n! \cdot n!} = \frac{(n+1)^3 \cdot (n+1) \cdot (n+1) } {(2n+2)(2n+1) \cdot n^3 } = \frac{(n+1)^5 } {(2n+2)(2n+1) \cdot n^3 }= \frac{n^5+...+1} {4n^5+6n^4+2n^3 }= \frac{(n^5)(1+...+ \frac{1}{n^5}) } {(n^5)4+ \frac{6}{n} + \frac{2}{n^2} } < 1 \Rightarrow \end{eqnarray}$ Reihe konvergiert
12.05.2013, 17:17	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast hinter den Gleichheitszeichen immer den Limes vergessen, aber sonst ist die Idee richtig. Was darauf für die Folge folgt, sollte klar sein, oder?
12.05.2013, 18:59	MatheNoobii	Auf diesen Beitrag antworten »
Jaa, wenn es darauf ankommt, mach ich ihn hin! Ja die Folge muss gegen 0 konvergieren, da die Folgeglieder ja immer kleiner werden, aber nie = 0 oder negativ sind.
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12.05.2013, 20:10	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist sehr schwammig. Die Folge 1/2+1/n hat die selben Eigenschaften. Sag lieber etwas wie: jede summierbare Folge ist Nullfolge.
13.05.2013, 13:07	MatheNoobii	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah stimmt! Danke für den Hinweis!

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