Verständnisproblem der Schreibweisen Abb(X, Y), Y^X und X^n

12.05.2013, 16:26

MatheTools

Verständnisproblem der Schreibweisen Abb(X, Y), Y^X und X^n

Hallo zusammen,

ich verstehe leider nicht recht wie die Schreibweisen
$\begin{eqnarray*} (1) \; Abb(X,Y) \Leftrightarrow Y^{X}\; mit \; X, Y \neq \O \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} (2) \; X^{n} \; mit \; X \neq \O \; und \; n\in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$
zusammenhängen.

Ich habe gelesen dass die Schreibweise (1) konsistent zu (2) sein soll.

Zunächst mal ist mir noch nicht ganz klar was Abb(X, Y) konkret bedeutet.
"Menge aller Abbildungen von X in Y"
Aber was bedeutet das genau?

Über eine Erklärung würde ich mich sehr freuen smile

lg,
MatheTools

12.05.2013, 18:07

Elvis

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$\begin{eqnarray*} X^n=X^{\{1,...,n\}}=Abb(\{1,...,n\},X) \end{eqnarray*}$ , deswegen sind die Schreibweisen verträglich.

$\begin{eqnarray*} Abb(X,Y)=Y^X \end{eqnarray*}$ ist die Menge aller Abbildungen von X nach Y.
Eine Abbildung oder Funktion von X nach Y ordnet jedem Element x aus X genau ein Element y aus Y zu.
Schreibweise $\begin{eqnarray*} f:X\to Y, x\to y=f(x) \end{eqnarray*}$ . (Begriff der Mengenlehre, genau wie in der Schule gelernt.)

12.05.2013, 18:56

MatheTools

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Hallo Elvis,

erstmal möchte ich dir vielmals für deine Antwort danken.

Was genau bedeutet "... ist die Menge aller Abbildungen von X nach Y"?

Ich stelle es mir im Moment so vor:
$\begin{eqnarray*} Abb(X, Y) = \left \{(f: A \rightarrow Y): A \in Pot(X) \right \} \end{eqnarray*}$
(weil ich X ja problemlos einschränken kann)

Also für
$\begin{eqnarray*} Abb(\left \{ 1, 2 \right \}, X) = \left \{ (f: \O\rightarrow X),(f: \left \{ 1 \right \}\rightarrow X),(f: \left \{ 2 \right \}\rightarrow X),(f: \left \{ 1, 2 \right \}\rightarrow X) \right \} \end{eqnarray*}$

Ist das bis hierhin richtig?

12.05.2013, 19:26

Elvis

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Nein, die Einschränkung von Abbildungen erzeugt andere Abbildungen.
Eine Abbildung von X nach Y ordnet JEDEM Element von X genau ein Element aus Y zu.
Zum Beispiel ist $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3=\{(x_1,x_2,x_3)|x_1,x_2,x_3\in\mathbb R\} \end{eqnarray*}$ und enthält nicht z.B. (1,1) .

12.05.2013, 20:03

MatheTools

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Also ist
$\begin{eqnarray*} Abb(X, Y) = X \times Bild(Y) \subseteq X \times Y \end{eqnarray*}$
?
(da ich ja jedem x genau ein f(x) zuordne)

Aber ausgehend von..

Zitat:

Original von Elvis
Zum Beispiel ist $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3=\{(x_1,x_2,x_3)|x_1,x_2,x_3\in\mathbb R\} \end{eqnarray*}$ und enthält nicht z.B. (1,1) .

..vermute ich dass obiges auch falsch ist?

Es tut mir wirklich leid dass ich so schwer von Begriff bin, aber ich will es wirklich versuchen zu verstehen und nicht einfach mit der Ausrede überspringen dass man ja nicht alles verstehen muss.

13.05.2013, 18:19

Elvis

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Ja, das ist auch ein bißchen sehr falsch. Was du angegeben hast, verwechselt die Menge aller Abbildungen von X nach Y, also Abb(X,Y), mit dem Graphen einer Funktion f:X->Y, also mit einem Element von Abb(X,Y). Außerdem meintest du Bild(f) und nicht Bild(Y).

Den Begriff einer Funktion musst du unbedingt verstehen, denn zusammen mit dem Begriff einer Menge ist das die Grundlage jeder modernen Mathematik.
Also noch einmal von vorn. Eine Menge X ist die Gesamtheit ihrer Elemente. Eine Funktion f:X->Y, x->y=f(x) ordnet jedem Element aus X genau ein Element y aus Y zu. Mengentheoretisch ist eine Funktion ein Tripel (X,Y,{(x,f(x))|x aus X}) mit einem Definitionsbereich X, einer Wertemenge Y und dem Graph von f, das ist die Menge {(x,f(x))|x aus X} als Teilmenge des kartesischen Produkts XxY.

Abb(X,Y) ist die Menge aller Funktionen von X nach Y. Für X={1,2,3} und Y=R ordnet also eine Funktion f aus Abb(X,Y) jeder Zahl 1,2,3 genau eine reelle Zahl x1,x2,x3 zu. Diese geordneten Tripel (x1,x2,x3) sind nichts anderes als die Punkte des R^3, jeden dieser Punkte im Raum kann man also als eine Funktion von {1,2,3} nach R auffassen und umgekehrt jede solche Funktion als einen Punkt.

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