kgV und ggT |
| 12.05.2013, 16:45 | janine2602 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| kgV und ggT Brauche Hilfe bei Aufgabe mit ggT und kgV - Hochschulmathe! Meine Ideen: Hallo zusammen! Ich muss bis Dienstag folgende Aufgabe geschafft haben: a) Seien a,b in NN. Zeigen Sie: kgV(a,b)/a und kgV(a,b)/b sind teilerfremd. b) Bestimmen Sie alle a,b in NN mit a<b, so dass kgV(a,b)=6+ggt(a,b)Hallo zusammen! Ich denke folgender Satz ist für beide Aufgabenteile wichtig: kgV(a,b)*ggT(a,b)=a*b Zu a) habe ich mir folgendes überlegt: Zwei Zahlen sind ja teilerfremd, wenn der ggT dieser Zahlen 1 ist. Also habe ich ggT(kgV(a,b)/a , kgV(a,b)/b ) so versucht umzuformen, dass da 1 rauskommt! dann steht da bei mir: kgV(a,b) * ggT(1/a , 1/b), aber dann wären a 1/a und 1/b nicht aus den natürlichen Zahlen und dann gibt es auch keinen ggT.. Ist vielleicht schon der Ansatz falsch? Zu b) habe ich den Satz, den ich oben angegeben habe versucht, zu verwenden. dafür habe ich einmal versucht kgV und einmal ggT zu ersetzten. 1. Versuch: ggT(a,b)= kgV(a,b) - 6 d.h. (kgV(a,b)-6)*kgV(a,b)=a*b => kgV(a,b)*kgV(a,b) -6kgV(a,b) = a*b 2.Versuch: kgV(a,b) = ggT(a,b) + 6 d.h. (ggT(a,b) + 6)* ggT(a,b) = a*b aber hier komme ich auch nicht weiter. Ist vielleicht auch bei der b) der Ansatz falsch? Ich komme hier echt nicht weiter und wäre euch wirklich dankbar um eure Hilfe! Liebe Grüße! |
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| 12.05.2013, 17:01 | Captain Kirk | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hallo, ich würde hier einen anderen Ansatz wählen: Ist (p_1,...,p_r sei die Menge aller Primteiler von ab) so lässt sich der ggt mittels der Minima der Exponenten, der kgV der Maxima der Exponenten darstellen. Daraus folgt dass die in 1) betrachteten Zahlen verschiedene Primteiler haben und ist auch bei der 2) hilfreich. |
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| 12.05.2013, 17:43 | janine2602 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Okay danke schonmal! Davon habe ich auch schon was gehört! Ich habe das jetzt mal versucht: a) kgV(a,b)/a = Summe p^(min{a,b}) / Summe p^a = Summe p^(max{a,b}-a) kgV (a,b)/b = Summe p^(max{a,b}) / Summe p^b = Summe p^(max{a,b}-b) aber da weiß ich jetzt nicht wieso ich sagen kann dass die teilerfremd sind. b) (ggT(a,b)+6)*ggT(a,b) = a*b => ggT(a,b)^2 + 6ggT(a,b) = a*b => Summ p^(min{a,b}*2) + 6*Summe p^(min{a,b}) = Summe p^(a+b) Wie mir das jetzt weiterhelfen kann alle a,b zu finden, für die das gilt, weiß ich aber auch nicht :/ Das a und das b im Exponent soll jeweils alpha und beta sein weil wir das so in der Vorlesung genannt haben. Und Summer heißt hier das Summenzeichen. p ist aus den Primzahlen. Ich verstehe hier leider nicht, wie man das schöner aufschreibt :/ Danke vielmals für deine Hilfe 
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| 12.05.2013, 20:01 | Captain Kirk | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Sorry wenn es hart klingt: Was du da schreibst ist furchtbar falsch. Du belegst a,b mit mehrfachen Bedeutungen (die Zahlen und die Potenzen der Primfaktorzerlegung der Zahlen). Damit wird es maximal Kauderwelsch. Dann sprichst du von nicht näher definierten Summen. Wenn, dann sind es hier Produkte. Mit der darstellung würd ich hier auch nichts verstehen. Und bei der 2): nimm die ursprüngliche Gleichung, nicht die von dir vermurkste. Mouse-over über meine Formeln zeigt wie man das hier sauber darstellen kann. |
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| 12.05.2013, 21:36 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Bei a) geht es auch sehr hübsch indirekt: Angenommen, es gibt einen gemeinsamen Teiler von und . Dann ist offenbar ein Vielfaches sowohl von als auch von , mithin also ein gemeinsames Vielfaches von ... Da ist der Widerspruch nicht mehr weit. 
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| 12.05.2013, 22:02 | janine2602 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Aber wie kann ein Teiler einer Zahl gleichzeitig auch Vielfaches dieser sein? Liegt da schon der Widerspruch? Das verstehe ich nicht. Und zu Captain Kirk: Ich weiß, wie man das eigentlich richtig aufschreibt, denn genau mit dieser Schreibweise arbeiten wir gerade. Deshalb habe ich ja extra gesagt, dass die a's im Exponent alphas sein sollen. Kenn mich mit der korrekten Schreibweise hier nicht aus. Aber egal wie lange ich da umforme, bekomme ich nie eine gescheite Aussage darüber, wie ich a und b zu wählen habe, damit diese Gleichung erfüllt ist. Und es steht extra als Tip drunter, dass wir Satz 18 der Vorlesung verwenden sollen. Und das dieser, den ich schon erwähnt hatt: ggT(a,b)*kgV(a,b)=1 ... Liebe Grüße, und danke für eure Hilfe! |
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| 12.05.2013, 23:14 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Dieses "aber" hat inhaltlich nichts, aber auch gar nichts mit dem von mir skizzierten Beweis zu tun. |
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| 13.05.2013, 12:11 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
@HAL janine2602 ist woanders als "Annikanni" mit der gleichen Frage unterwegs: http://www.onlinemathe.de/forum/ggT-und-...lgen-und-Reihen |
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