Algebraische Vielfachheit (Eigenwertproblem)

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Justus121 Auf diesen Beitrag antworten »
Algebraische Vielfachheit (Eigenwertproblem)
Mich würde interessieren was die algebraische vielfachheit in bezug auf eigenwerte/eigenvektoren ist?

Handelt es sich hierbei einfach um die Anzahl der Eigenwerte einer Matrix ?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Algebraische Vielfachheit (Eigenwertproblem))
Nein.
Die Eigenwerte sind ja gerade die Nullstellen des charakteristischen Polynoms.
Und die Vielfachheit der Nullstelle in diesem Polynom ist die algebraische Vielfachheit eines Eigenwertes.
Justus121 Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt bin ich etwas irritiert. Was kann ich denn darunter nun verstehen?

Sind das eventuell die Anzahl der mehrfachen Nullstellen des Char. Polynom? Kommt z.b. bei einer 3x3-Matrix als Eigenwerte x1=1,x2=4,x3=1 heraus so ist die algebraische vielfachheit 2 (da doppelnullstelle bei x=1),

bei einer 3x3- matrix wo nun z.b. x=1,x2=2 und x3=3 ist, ist die algebraische vielfachheit 1?

hmm verwirrt^^
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Eine allgebraische Vielfachheit ohne weitere Präzisierung gibt es nicht. Nur algebraische Vielfachheiten von Eigenwerten. Und ja, in deinem ersten Beispiel ist Eins ein Eigenwert von algebraischer Vielfachheit Zwei.
Justus121 Auf diesen Beitrag antworten »

Was ist wenn es 5 Nullstellen gibt bei einem charackteristischen Polynom. Z.b. x1=x2=x3=5 und x4=x5=7

was sind hier die wichtigen algebraischen vielfachheiten? x1,x2 und x3 tippe ich? Mir geht es darum, da man für ein Kriterium der diagonalisierung die algebraischen vielfachheiten bestimmen soll und ich zb hier nicht weiß welche ich nutzt.
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Justus121
Was ist wenn es 5 Nullstellen gibt bei einem charackteristischen Polynom. Z.b. x1=x2=x3=5 und x4=x5=7

Dann hat der Eigenwert Fünf die algebraische Vielfachheit Drei und Sieben die algebraische Vielfachheit Zwei.

Zitat:
was sind hier die wichtigen algebraischen vielfachheiten?

Wichtig? Inwiefern?

Zitat:
x1,x2 und x3 tippe ich?

Das sind Eigenwerte, keine Vielfachheiten.

Zitat:
Mir geht es darum, da man für ein Kriterium der diagonalisierung die algebraischen vielfachheiten bestimmen soll und ich zb hier nicht weiß welche ich nutzt.

"welche ich nutzt"? Überhaupt ergibt der Satz keinen Sinn...
 
 
Justus121 Auf diesen Beitrag antworten »

damit ich eine matrix diagonalisieren kann muss ja unter anderem folgendes kriterium erfüllt sein:

kurz: algebraische vielfachheit ist gleich der geometrischen vielfachheit

nun möchte ich gerne wissen was denn nun die algebraische vielfachheit ist, wenn z.b. verschiedene mehrfache nullstellen vorhanden sind im char. poly.. Dank dir weiss ich nun jedoch, dass ich glaube alle mehrfachen nullstellen einfach abzählenbrauch und diese dann die algebraische vielfachheit bestimmt. So wie du die algebraische vielfachheit ebend bezüglich meiner genannten eigenwerte.
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Wie gesagt: Es gibt nichts wie "die algebraische Vielfachheit".
Nur die algebraische Vielfachheit eines Eigenwertes.

Zitat:
kurz: algebraische vielfachheit ist gleich der geometrischen vielfachheit

Das ist etwas zu kurz.
Das Kriterium ist, dass dies für jeden Eigenwert gilt.

Vergiss das, von der algebraischen Vielfachheit zu reden, wenn nicht angegeben ist, von welchem Eigenwert die algebraische Vielfachheit betrachtet werden soll.
Justus121 Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt. Darauf muss ich unbedingt achten.
Stimmt es den nun eigentlich, dass der Eigenwert Fünf die algebraische Vielfachheit Drei besitzt und Sieben die algebraische Vielfachheit Zwei hat und ich diese zusammenzägle? Oder ich das Kriterium für jeden einzelnen Eigenwert überprüfe?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Justus121
Stimmt es den nun eigentlich, dass der Eigenwert Fünf die algebraische Vielfachheit Drei besitzt und Sieben die algebraische Vielfachheit Zwei hat

Ja, das hatte ich schon geschrieben.

Zitat:
und ich diese zusammenzägle?

Nein, wieso willst du hier irgendetwas zusammenzählen?

Zitat:
Oder ich das Kriterium für jeden einzelnen Eigenwert überprüfe?

Ja, ich hatte doch gesagt, dass du das für jeden Eigenwert überprüfen sollst.

Alternativ kannst du auch alle geometrischen Vielfachheiten (also die aller Eigenwerte) zusammenzählen und überprüfen, ob das der Dimension der Matrix entspricht.
Justus121 Auf diesen Beitrag antworten »

,,Alternativ kannst du auch alle geometrischen Vielfachheiten (also die aller Eigenwerte) zusammenzählen"

Ist das den nicht das was ich gefragt hatte?^^ Also, ich berechne zu einer Matrix das zugehörige Charackteristische Polynom aus. Hier zähle ich zusammen, wie viele mehrfach Nullstellen es insgesamt gibt, auch wenn es verschiedene mehrfach nullstellen sind (wie das zuvor genannte Beispiel). Und wenn das gleich der Dimension der Matrix ist, ist diese also diagonalisierbar? Um welche Matrix handelt es sich denn. Um die vorgegebene?

Ist das korrekt alles? Ich bin etwas verwirrt, weil ich heute sehr viel gelernt habe und ich an meine Grenzen gelange.^^
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Justus121
Ist das den nicht das was ich gefragt hatte?^^ Also, ich berechne zu einer Matrix das zugehörige Charackteristische Polynom aus. Hier zähle ich zusammen, wie viele mehrfach Nullstellen es insgesamt gibt, auch wenn es verschiedene mehrfach nullstellen sind (wie das zuvor genannte Beispiel).

Nein, die Summe der algebraischen Vielfachheiten ist immer die Dimension der Matrix; die sagt nichts über die Diagonalisierbarkeit aus.

Zitat:
Um welche Matrix handelt es sich denn. Um die vorgegebene?

Woher soll ich wissen, über welche Matrix du reden möchtest? verwirrt
Justus121 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich meine mit der vorgegebenen Matrix die diagonalisiert werden soll, also jetzt allgemein betrachtet. Brauche ich von dieser die Dimension=Rang in Zeilenstufenform?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weiß nicht, was du damit sagen bzw. fragen möchtest...

Zitat:
Ich bin etwas verwirrt, weil ich heute sehr viel gelernt habe und ich an meine Grenzen gelange.^^

Dann schlaf dich besser erstmal aus...
Justus121 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich möchte das noch verstehen. Bitte sag mir was bei folgender Aussage falsch ist:

Also, gegeben sei eine Matrix A. Nun soll ich schauen ob diese diagonalisierbar ist. Ein Kriterium hierfür lautet dass die algebraische vielfachheit der eigenwerte=geometrischen vielfachheit (dimension der eigenvektoren der eigenwerte) sein muss, wobei man die geometrische vielfachheit wie folgt berechnen kann:

ich berechne einfach den rang der jeweiligen eigenvektoren, dann habe ich die dimension raus der einzelnen eigenvektoren der eigenwerte. Und wenn nun die dimension eines eigenvektores eines eigenwertes gleich der algebraischen vielfachheit eines des zugehörigen eigenwerts ist, ist die Matrix A diagonalisierbar.

Was ist daran falsch? Bzw. wie heißt es richtig? Hoffe ich nerve nicht unglücklich

Und ich hoffe du weisst was ich meine.
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Abgesehen davon, dass du etwas mehr auf Grammatik und Großschreibung achten könntest: Die geometrische Vielfachheit eines Eigenwertes ist die Dimension des zugehörigen Eigenraumes.
Und diese muss nicht nur für einen Eigenwert mit der algebraischen Vielfachheit übereinstimmen, sondern für alle.

Man sagt auch nicht "Eigenvektor eines Eigenwertes"; es sind Eigenvektoren einer Matrix, die zu einem Eigenwert gehören.

Du hättest dir beinahe den ganzen Thread sparen können, wenn du dir einfach eure Definitionen etwas genauer durchgelesen hättest.
Wenn dieses Kriterium für Diagonalisierbarkeit behandelt wird, solltest du doch auch Zugriff auf die Definition der algebraischen Vielfachheit haben.
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